Riemann-integrierbare Fkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Kennt ihr vielleicht ein Beispiel einer Riemann-integrierbaren Funktion [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] so dass
F(x):= [mm] \integral_{-1}^{x}{f(t) dt} [/mm] differenzierbar ist, aber [mm] F'(x)\not= [/mm] f(x) ist??
Mir fällt dazu überhaupt nichts ein.
Wäre echt toll, wenn ihr dazu ne Idee hättet, ihr würdet mir einen ganz gewaltigen Schritt weiter helfen!!!
Vielen Dank schon mal,
Spider
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo
> Kennt ihr vielleicht ein Beispiel einer
> Riemann-integrierbaren Funktion [mm]f:[-1,1]\to\IR[/mm] so dass
>
> F(x):= [mm]\integral_{-1}^{x}{f(t) dt}[/mm] differenzierbar ist,
> aber [mm]F'(x)\not=[/mm] f(x) ist??
>
> Mir fällt dazu überhaupt nichts ein.
Aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung kann dies nur möglich sein, wenn $f(t)$ nicht (im ganzen Intervall $[-1;x]$) stetig ist.
Falls es genügt, dass es ein $x>-1$ gibt, so dass [mm] $F'(x)\neq [/mm] f(x)$ ist, wäre dies trivial zu bewerkstelligen. Nimm zum Beispiel einfach die Funktion
[mm]f(x) := \begin{cases}1 &\text{für $x\neq 0$}
\\
0 &\text{für $x=0$}\end{cases}[/mm]
In diesem Falle ist $F(x)=x+1$ und hat die Ableitung $F'(x)=1$, für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Aber es ist [mm] $F'(0)=1\neq [/mm] f(0)=0$. Was zu zeigen war.
Falls man aber [mm] $F'(x)\neq [/mm] f(x)$ für alle $x$ eines ganzen Intervalls zeigen müsste, wäre ich im Moment auch überfragt. Auf den ersten Blick würde ich an einer solchen Möglichkeit doch eher zweifeln. Denn wenn der Integrand $f(x)$ zu sehr und zu dicht unstetig herumirrt, dann konvergieren die Ober- und Untersumme des Integrals nicht gegen denselben Grenzwert und wir können Existenz des Integrals $F(x)$ vergessen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 27.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
welche funktion $f$ wohl $F'(x) [mm] \not= [/mm] f(x)$ in "maximal vielen" punkten (abzählbar vielen - mehr ist hier meiner meinung nach nicht zu erreichen) und trotzdem $F(x)$ überall differenzierbar erfüllt ist, denke ich, zum beispiel die "modifizierte dirichlet funktion"
[m] f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \textrm{ falls } x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \textrm{ mit ggT}(p, q) = 1 \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases}. [/m]
grüße
andreas
|
|
|
|
