Riemann-integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Fr 04.11.2011 | | Autor: | LadyA |
Hallo Leute,
ich habe ein kleines Problem. Ich muss in einer Aufgabe zeigen, dass meine Integral Riemann-integrierbar sind. Nun lese ich die Definition dazu die ist klar, bei der Andwendung habe ich aber Schwierigkeiten:-(
Aber was noch viel wichtiger ist für mich, ein Integral dessen Wert [mm] \infty [/mm] (also wenn das das Integral nicht existiert), ist dieser dann noch Riemann-integrierbar? Oder ist ein Integral, dessen Wert auch konvergiert nur Riemann-integriebar?
Vielen Dank schonmal
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Hallo LadyA,
> ich habe ein kleines Problem. Ich muss in einer Aufgabe
> zeigen, dass meine Integral Riemann-integrierbar sind. Nun
> lese ich die Definition dazu die ist klar, bei der
> Andwendung habe ich aber Schwierigkeiten:-(
Zeig mal ein Beispiel und wie weit du kommst, dann kriegen wir das schon hin. 
> Aber was noch viel wichtiger ist für mich, ein Integral
> dessen Wert [mm]\infty[/mm] (also wenn das das Integral nicht
> existiert), ist dieser dann noch Riemann-integrierbar? Oder
> ist ein Integral, dessen Wert auch konvergiert nur
> Riemann-integriebar?
...dieses... (es heißt "das Integral")
Ansonsten kann ein divergentes uneigentliches Integral sehr wohl Riemann-integrierbar sein. Oder eben nicht - das hängt vom vorliegenden Integral ab. Hast Du auch da ein Beispiel?
(Normalerweise ist jedes bestimmbare Integral auch Riemann-integrierbar; es gibt aber ein paar Sonderfälle.)
Grüße
reverend
> Vielen Dank schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 04.11.2011 | | Autor: | LadyA |
Hallo,
also mein Integral sieht wie folgt aus: [mm] \integral_{0}^{1}{x^{-k} dx}.
[/mm]
Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht.
1.Fall [mm] k\not=1: [/mm] Hier kriege ich als Ergebnis 1/(1-k) raus.
2.Fall k=1 hier komme ich auf ln(1) - [mm] \limes_{b\rightarrow 0, b>0} [/mm] ln(b) [mm] =-\infty [/mm] also existiert hier das Integral ja nicht.
Nun soll ich in beiden Fällen ja auch die Riemann-Integrierbarkeit zeigen, aber da weiß ich leider nicht mehr weiter :-(
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 04.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Sprechweise:
Nicht ein Integral ist integrierbar sondern eine Funktion.
2. in x=0 ist die Funktion [mm] f(x)=x^{-k} [/mm] k>0 nivhz definiert! also kann sie nur in [mm] (0,\infty) [/mm] Riemannintegrierbar sein, d.h. auf ihrem Definitionsgebiet!
Davon unabhängig kann der GW des R-Integrals für x gegen 0 existieren. Man sagt dann das uneigentliche Integral existiert. an dem Wort "uneigentlich" siehst du schon, dass das ein GW ist und nicht mehr eine Riemansumme im alten Sinn
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Stellen wirs klar.
Sei f:(0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion mit der Eigenschaft: f ist über jedes Intervall [a,1] (0<a<1) Riemannintegrierbar.
Man sagt , das uneigentliche Riemanintegral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] ex. oder konvergiert, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{a \rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{f(x) dx} [/mm] ex. und [mm] \in \IR [/mm] ist.
Existiert der GW nicht oder ist er nicht [mm] \in \IR, [/mm] so ist f nicht uneigentlich R.-integrierbar über (0,1]
FRED
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