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Hallo zusammen.
Ich habe seit Freitag versucht folgendes zu Lösen:
Seien [mm] I := [0,1] , f : I \to \IR [/mm] beschränkt und [mm] g : \IR \to \IR [/mm] konvex sowie [mm] \mu_f [/mm] eine Flächeninhaltsfunktion für f über I . Zeigen Sie:
[mm] g(\mu_f (I)) \le \mu_[g \circ f] (I) [/mm]
falls g monoton wachsend oder f Riemann-integrierbar ist.
Und ferner: Beweisen sie, dass monotone Funktionen Riemann-integrierbar sind.
Hilfe, ich ahbe keine Ahnung und es wäre echt schon spitze wenn ich die Ansätze hätte!
Vielen Dank schon mal!
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Hallo!
Bitte poste in Zukunft nicht zwei Fragen in einen Strang!
Nun aber zur Frage, warum monotone Funktionen Riemann-integrierbar sind.
O.E. gehen wir davon aus, dass die Funktion $f:\ [mm] [a;b]\to\IR$ [/mm] monoton steigend ist.
Sei [mm] $\left(\xi_i^{(n)}\right)_{i=0,\dots, n}$ [/mm] eine Partition von $[a;b]$, wobei [mm] $\xi^{(n)}_i-\xi^{(n)}_{i-1}=\bruch{b-a}{n}=:\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\dots [/mm] n$.
Dann gilt für die Obersumme [mm] $S_n$:
[/mm]
[mm] $S_n=\summe_{i=1}^n f(\xi^{(n)}_{i})\left(\xi^{(n)}_i-\xi^{(n)}_{i-1}\right)=\epsilon*\summe_{i=1}^nf(\xi^{(n)}_{i})$
[/mm]
und für die Untersumme [mm] $s_n$:
[/mm]
[mm] $s_n=\summe_{i=1}^n f(\xi^{(n)}_{i-1})\left(\xi^{(n)}_i-\xi^{(n)}_{i-1}\right)=\epsilon*\summe_{i=1}^nf(\xi^{(n)}_{i-1})$
[/mm]
Damit ist [mm] $S_n-s_n=\epsilon\left(f(\xi^{(n)}_{n})-f(\xi^{(n)}_{0})\right)=(f(b)-f(a))\epsilon$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] $s_n$ [/mm] monoton steigend und [mm] $S_n$ [/mm] monoton fallend. Also konvergieren beide gegen denselben Grenzwert.
Für die Frage mit der konvexen Funktion $g$: Zeige zunächst mal, dass für jede Partition [mm] $\big(\xi_i\big)$ [/mm] von $[0;1]$ und für [mm] $x_i\in\IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $g\left(\summe (\xi_i-\xi_{i-1})x_i\right)\le \summe (\xi_i-\xi_{i-1})g(x_i)$. [/mm] Das geht am besten über Induktion. Benutze dabei, dass [mm] $\summe (\xi_i-\xi_{i-1})=1$!
[/mm]
Gruß, banachella
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