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Sei Z eine Zerlegung a = [mm] x_0< [/mm] x1<...< [mm] x_n [/mm] = b des Intervalls [a,b] und [mm] \lambda [/mm] = [mm] (\lambda_1,...,\lambda_n) [/mm] eine Sammlung von Punkten mit [mm] \lambda_i \in [x_{i-1},x_i] [/mm] für jedes i [mm] \in [/mm] {1,...,n}. Sei Y eine Verfeinerung a = [mm] v_0< v_1<...< v_h [/mm] = b von Z , d.h. [mm] {(x_1,...,x_n}) \subset ({v_1,...,v_h}),\mu_k\in [v_{k-1},v_k] \forall [/mm] k.
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine monoton steigende Funktion. Zeigen Sie die folgende Abschätzung
a) [mm] \summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(Z,\lambda)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(V,\mu)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le [/mm] |z|(f(b)-f(a))
Irgendwie kann ich mit dem Term in der mitte nicht soviel anfangen.
Also das Z eine Zerlegung ist, und [mm] \lambda [/mm] die zwischenstellen.
Aber irgenwie muss ich den term ja nach oben hin abschätzen können. Da fehlt mir leider die grundidee.
Kann mir vll jemand nen ansatz geben, an dem ich weiter arbeiten kann. Ich probiere schon den ganzen tag voran zu kommen, aber irgendwie fehlt mir der zündende gedanke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Mo 15.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kontolliere bitte nochmal was du geschrieben hast, all die [mm] \lambda, [/mm] v usw . kommen nicht vor, [mm] x_k [/mm] in der zweiten Summe macht keinen Sinn, ich versteh auch das [mm] (Z,\lambda [/mm] nach der ersten nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
Hab alles kontrolliert. Jetzt stimmt alles :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Mo 15.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Sei Z eine Zerlegung a = [mm]x_0<[/mm] x1<...< [mm]x_n[/mm] = b des
> Intervalls [a,b] und [mm]\lambda[/mm] = [mm](\lambda_1,...,\lambda_n)[/mm]
> eine Sammlung von Punkten mit [mm]\lambda_i \in [x_{i-1},x_i][/mm]
> für jedes i [mm]\in[/mm] {1,...,n}. Sei Y eine Verfeinerung a =
> [mm]v_0< v_1<...< v_h[/mm] = b von Z , d.h. [mm]{(x_1,...,x_n}) \subset ({v_1,...,v_h}),\mu_k\in [v_{k-1},v_k] \forall[/mm]
> k.
>
> Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine monoton steigende Funktion. Zeigen
> Sie die folgende Abschätzung
>
> a) [mm]\summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(Z,\lambda)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(V,\mu)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le[/mm]
> |z|(f(b)-f(a))
>
> Irgendwie kann ich mit dem Term in der mitte nicht soviel
> anfangen.
Vermute
[mm] $S(Z,\lambda) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} f(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})$
[/mm]
>
> Also das Z eine Zerlegung ist, und [mm]\lambda[/mm] die
> zwischenstellen.
> Aber irgenwie muss ich den term ja nach oben hin
> abschätzen können. Da fehlt mir leider die grundidee.
Ausnützen, dass f monoton steigend ist.
Damit lassen sich die f(x) innerhalb eines Intervalles abschätzen.
>
> Kann mir vll jemand nen ansatz geben, an dem ich weiter
> arbeiten kann. Ich probiere schon den ganzen tag voran zu
> kommen, aber irgendwie fehlt mir der zündende gedanke.
Was ist mit |z| gemeint?
Gruß
meili
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> Hallo,
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> > Sei Z eine Zerlegung a = [mm]x_0<[/mm] x1<...< [mm]x_n[/mm] = b des
> > Intervalls [a,b] und [mm]\lambda[/mm] = [mm](\lambda_1,...,\lambda_n)[/mm]
> > eine Sammlung von Punkten mit [mm]\lambda_i \in [x_{i-1},x_i][/mm]
> > für jedes i [mm]\in[/mm] {1,...,n}. Sei Y eine Verfeinerung a =
> > [mm]v_0< v_1<...< v_h[/mm] = b von Z , d.h. [mm]{(x_1,...,x_n}) \subset ({v_1,...,v_h}),\mu_k\in [v_{k-1},v_k] \forall[/mm]
> > k.
> >
> > Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] eine monoton steigende Funktion. Zeigen
> > Sie die folgende Abschätzung
> >
> > a) [mm]\summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(Z,\lambda)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})[/mm]
Hier habe ich nun folgenden ansatz.
Es gilt ja a = [mm] x_0< [/mm] x1<...< [mm] x_n [/mm] = b. Desweiteren ist [mm] \lambda_i \in [x_{i-1},x_i].
[/mm]
Somit ist ja, [mm] x_0\le \lambda_1 \le [/mm] x1 [mm] \le...\le x_{n-1} \le \lambda_in \le x_n
[/mm]
[mm] <=>\lambda_i \le x_i \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,...,n}
Da f monton steigend ist folgt:
[mm] f(\lambda_i) \le f(x_i) \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,...,n}.
und daraus die behauptung.
Ist das soweit korrekt ? Die andere Seite folgt analog.
>
> >
> > b) [mm]\summe_{i=1}^{n}f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})\le S(V,\mu)\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1})[/mm]
Hier hab ich an was änlichem gedacht. Wir haben nun
[mm] \summe_{k=1}^{k}f(\mu_k)(v_k-x_{k-1})\le \summe_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i-x_{i-1}) [/mm] zu zeigen.
Es gilt natürlich [mm] {(x_1,...,x_n}) \subset ({v_1,...,v_h})
[/mm]
Da [mm] a=x_0=v_0 [/mm] ist und [mm] b=x_n=v_h, [/mm] ist doch ebenfalls
[mm] x_0\le v_1 \le x_1 \le [/mm] ... [mm] \le v_h \le x_n [/mm] für alle zahlen.
Dann könnte man wieder die montonie benutzen, und sagen dass deswegen [mm] f(\mu_k) \le f(x_i) [/mm] gilt.
Aber da bin ich mir noch nicht so ganz sicher.
>
> >
> > c) [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le[/mm]
> > |z|(f(b)-f(a))
> >
> > Irgendwie kann ich mit dem Term in der mitte nicht soviel
> > anfangen.
> Vermute
> [mm]S(Z,\lambda) = \summe_{i=1}^{n} f(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})[/mm]
>
> >
> > Also das Z eine Zerlegung ist, und [mm]\lambda[/mm] die
> > zwischenstellen.
> > Aber irgenwie muss ich den term ja nach oben hin
> > abschätzen können. Da fehlt mir leider die grundidee.
> Ausnützen, dass f monoton steigend ist.
> Damit lassen sich die f(x) innerhalb eines Intervalles
> abschätzen.
> >
> > Kann mir vll jemand nen ansatz geben, an dem ich weiter
> > arbeiten kann. Ich probiere schon den ganzen tag voran zu
> > kommen, aber irgendwie fehlt mir der zündende gedanke.
>
> Was ist mit |z| gemeint?
Das hat fred bereits beantwortet. Ich musste auch erstmal in mein skript nachschlagen, aber es ist das Feinheitsmaß von Z gemeint.
> Gruß
> meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Was ist mit |z| gemeint?
>
> Das hat fred bereits beantwortet. Ich musste auch erstmal
> in mein skript nachschlagen, aber es ist das Feinheitsmaß
> von Z gemeint.
Das spiegelt genial Deine Arbeitsweise wider !!!
Oben schreibst Du:
"Kann mir vll jemand nen ansatz geben, an dem ich weiter arbeiten kann. Ich probiere schon den ganzen tag voran zu kommen, aber irgendwie fehlt mir der zündende gedanke. "
Ein zündender Gedanke hätte sein müssen: zuerst im Skript nachschauen, um zu sehen, was die Ganzen Symbole bedeuten.
FRED
>
> > Gruß
> > meili
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Di 16.04.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
> > > Was ist mit |z| gemeint?
> >
> > Das hat fred bereits beantwortet. Ich musste auch erstmal
> > in mein skript nachschlagen, aber es ist das Feinheitsmaß
> > von Z gemeint.
>
>
> Das spiegelt genial Deine Arbeitsweise wider !!!
>
> Oben schreibst Du:
>
> "Kann mir vll jemand nen ansatz geben, an dem ich weiter
> arbeiten kann. Ich probiere schon den ganzen tag voran zu
> kommen, aber irgendwie fehlt mir der zündende gedanke. "
>
>
> Ein zündender Gedanke hätte sein müssen: zuerst im
> Skript nachschauen, um zu sehen, was die Ganzen Symbole
> bedeuten.
>
> FRED
> >
> > > Gruß
> > > meili
> >
>
Kam vielleicht falsch rüber, aber natürlich war ich mir sicher wof+r |Z| steht. Ich hab zur sicherheit nur nochmal im skript nachgeschlagen.
Das skript nacharbeiten ist immer das erste was ich mache.
Nur aufs blatt starren bringt schließlich auch nichts ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 17.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu c)
Ich vermute Du sollst
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le [/mm] $ |Z|(f(b)-f(a))
zeigen, wobei |Z| das Feinheitsmaß von Z ist.
Es ist [mm] x_i-x_{i-1} \le [/mm] |Z|, also
[mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1}) \le [/mm] |Z|* [mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))
[/mm]
Mach Dir nun klar. dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(b)-f(a)
[/mm]
ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
> Zu c)
>
> Ich vermute Du sollst
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})\le[/mm]
> |Z|(f(b)-f(a))
>
> zeigen, wobei |Z| das Feinheitsmaß von Z ist.
Jup das ist korrekt
> Es ist [mm]x_i-x_{i-1} \le[/mm] |Z|, also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1}) \le[/mm] |Z|*
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))[/mm]
>
> Mach Dir nun klar. dass
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(b)-f(a)[/mm]
>
> ist.
>
> FRED
Vielen lieben dank. Das habe ich verstanden. Die summanden, heben sich meistens weg. Es bleibt nur erster und letzter term übrig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Mach Dir nun klar. dass
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(b)-f(a)[/mm]
> >
> > ist.
> >
> > FRED
>
> Vielen lieben dank. Das habe ich verstanden. Die summanden,
> heben sich meistens weg. Es bleibt nur erster und letzter
> term übrig.
jupp - das kannst Du aber auch ganz einfach formal nachrechnen
(Kommutativitätsgesetz der Addition):
[mm] $$\sum_{i=1}^n (f(x_i)-f(x_{i-1}))=\Big(\sum_{i=1}^n f(x_i)\Big)-\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})=\Big(\Big(\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Big)+f(x_n)\Big)-\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k})$$
[/mm]
[mm] $$=\Big(\red{\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)}\Big)+f(x_n)-\Big(f(x_0)+\red{\sum_{k=1}^{n-1} f(x_{k})}\Big)=f(x_n)-f(x_0)$$
[/mm]
Der Rest folgt aus [mm] $x_n=b$ [/mm] und [mm] $x_0=a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 17.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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