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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{0}^{a}{x^{k} dx} [/mm] mit Hilfe Riemannscher Summen! |
Hallo!
Ich habe das Problem, dass ich die Summe nicht auswerten kann... Mein bisheriger Lösungsweg:
Man muss ja eine Unterteilung für das Intervall wählen und die Stützstellen bestimmen (Ist das richtig, dass ich Stützstellen als die Stellen verstehe, auf der sich praktisch die Funktion f(x) auf die Treppenfunktion, die ich darunterlege, stützt?).
Nun wähle ich also für das Intervall [0, a]:
- [mm] x_{i} [/mm] = [mm] \bruch{i}{n}*a [/mm] für i = 1, ..., n als Intervall-Teilungen
und Stützstellen wären dann alle
- [mm] y_{i} [/mm] = [mm] \bruch{i}{n}*a
[/mm]
Und nun also die Formel:
[mm] \integral_{0}^{a}{x^{k} dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (y_{i-1})^{k} [/mm] * [mm] (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{i}{n}*a [/mm] - [mm] \bruch{i-1}{n}*a)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{i*a-(i*a-a)}{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{a}{n})
[/mm]
[mm] \bruch{a}{n} [/mm] ist unabhängig von der Summe:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*\summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}
[/mm]
Aber ab nun weiss ich nicht mehr weiter... Man könnte noch die Summe umschreiben: (Für i = 1 ist's ja = 0)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*\summe_{i=1}^{n} (\bruch{i}{n}*a)^{k}
[/mm]
und dann schreiben:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*(\bruch{a}{n})^{k}*\summe_{i=1}^{n} i^{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a}{n})^{k+1}*\summe_{i=1}^{n} i^{k}
[/mm]
Aber nun ist Schluss... Vielen Dank für jede Hilfe!
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> Berechnen Sie [mm]\integral_{0}^{a}{x^{k} dx}[/mm] mit Hilfe
> Riemannscher Summen!
> Hallo!
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> Ich habe das Problem, dass ich die Summe nicht auswerten
> kann... Mein bisheriger Lösungsweg:
>
> Man muss ja eine Unterteilung für das Intervall wählen und
> die Stützstellen bestimmen (Ist das richtig, dass ich
> Stützstellen als die Stellen verstehe, auf der sich
> praktisch die Funktion f(x) auf die Treppenfunktion, die
> ich darunterlege, stützt?).
>
> Nun wähle ich also für das Intervall [0, a]:
>
> - [mm]x_{i}[/mm] = [mm]\bruch{i}{n}*a[/mm] für i = 1, ..., n als
> Intervall-Teilungen
>
> und Stützstellen wären dann alle
>
> - [mm]y_{i}[/mm] = [mm]\bruch{i}{n}*a[/mm]
>
> Und nun also die Formel:
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{x^{k} dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (y_{i-1})^{k}[/mm]
> * [mm](x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm]
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> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{i}{n}*a[/mm]
> - [mm]\bruch{i-1}{n}*a)[/mm]
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> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{i*a-(i*a-a)}{n})[/mm]
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> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}*(\bruch{a}{n})[/mm]
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> [mm]\bruch{a}{n}[/mm] ist unabhängig von der Summe:
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*\summe_{i=1}^{n} (\bruch{i-1}{n}*a)^{k}[/mm]
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> Aber ab nun weiss ich nicht mehr weiter... Man könnte noch
> die Summe umschreiben: (Für i = 1 ist's ja = 0)
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*\summe_{i=1}^{n} (\bruch{i}{n}*a)^{k}[/mm]
>
> und dann schreiben:
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a}{n}*(\bruch{a}{n})^{k}*\summe_{i=1}^{n} i^{k}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a}{n})^{k+1}*\summe_{i=1}^{n} i^{k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Aber nun ist Schluss... Vielen Dank für jede Hilfe!
Um auf diesem Weg zum Ziel [mm] $\int_0^a x^k\; dx=\frac{a^{k+1}}{k+1}$ [/mm] zu kommen, müsstest Du zumindest die höchste Potenz in $n$ der expliziten Darstellung von [mm] $\sum_{i=1}^n i^k$ [/mm] als Polynom in $n$ kennen. In der Tat ist [mm] $\sum_{i=1}^n i^k=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\ldots$, [/mm] so dass Du mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] sogleich das richtige Ergebnis erhalten würdest. - Jedoch ist nicht klar, wie Du (auf hinreichend einfachem Wege) diese explizite Form der Summe [mm] $\sum_{i=1}^n i^k$ [/mm] erhalten kannst.
Also stellt sich die Frage, ob Du nicht mit einer anderen als der von Dir gewählten äquidistanten Unterteilung des Intervalls $[0;a]$ in gleich lange Teilintervalle der Länge [mm] $\frac{a}{n}$ [/mm] eine Summe [mm] $\sum_{i=1}^n\ldots$ [/mm] erhalten könntest, die Du, im Unterschied zu [mm] $\sum_{i=1}^n i^k$, [/mm] (vergleichsweise leicht) explizit bestimmen kannst.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:26 So 20.01.2008 | | Autor: | steppenhahn |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe noch zwei Fragen:
-Warum entsteht bei einer Summe [mm] \summe_{i=1}^{n} i^{k} [/mm] denn ein Term mit dem Exponenten (k+1)? Theoretisch könnte doch höchstens [mm] n^{k} [/mm] entstehen... Hat das etwas damit zu tun, dass auch jede Summenformel für [mm] i^{1,2,3,4} [/mm] einen um eins höheren Exponenten hat, also z.B.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n^{2}-n}{2} [/mm] ?
Wieso ist das eigentlich so?
-Was wäre denn eigentlich eine günstigere Unterteilung? Etwas mit einer k-ten Wurzel? Allerdings wüsste ich dann nicht, wie man die einzelnen Stellen definieren sollte, man käme ja zwangsläufig darauf, auch in den Exponenten wieder hoch k zu schreiben:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{i}{n}*a^{k}}
[/mm]
Führt das zum Ergebnis?
Vielen Dank für jede Antwort!
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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> Ich habe noch zwei Fragen:
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> -Warum entsteht bei einer Summe [mm]\summe_{i=1}^{n} i^{k}[/mm] denn
> ein Term mit dem Exponenten (k+1)? Theoretisch könnte doch
> höchstens [mm]n^{k}[/mm] entstehen... Hat das etwas damit zu tun,
> dass auch jede Summenformel für [mm]i^{1,2,3,4}[/mm] einen um eins
> höheren Exponenten hat, also z.B.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i = [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}[/mm] ?
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> Wieso ist das eigentlich so?
Die $n$-te Partialsumme [mm] $s_n$ [/mm] muss, falls es sich um ein Polynom bezüglich $n$ handelt, ein Polynom vom Grade $k+1$ sein, weil ja gilt: [mm] $s_{n}-s_{n-1}=\sum_{i=1}^n i^k-\sum_{i=1}^{n-1}=n^k$. [/mm] Das Glied von [mm] $s_n$ [/mm] mit der höchsten Potenz von $n$ fällt nämlich bei der Subtraktion [mm] $s_n-s_{n-1}$ [/mm] notwendigerweise heraus. Allgemein: ist das Reihenglied [mm] $a_i$ [/mm] ein Polynom vom $k+1$-ten Grade, so sind die Glieder der Differenzen [mm] $d_i=a_i-a_{i-1}$ [/mm] Polynome vom Grade $k$ in $i$.
> -Was wäre denn eigentlich eine günstigere Unterteilung?
Tia, das war vielleicht bloss so eine Bieridee von mir.
> Etwas mit einer k-ten Wurzel?
Hm, dies würde zwar den Exponenten $k$ totschlagen, aber die zugehörigen [mm] $\Delta x_i$ [/mm] sind auch noch zu berücksichtigen. Wie gesagt: Ich bin nicht sicher ob es mit einer schlauen Unterteilung geht, aber ich dachte, es wäre ein Gedanke, den man sich mal durch den Kopf gehen lassen sollte...
> Allerdings wüsste ich dann
> nicht, wie man die einzelnen Stellen definieren sollte,
>man
> käme ja zwangsläufig darauf, auch in den Exponenten wieder
> hoch k zu schreiben:
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> [mm]\wurzel[k]{\bruch{i}{n}*a^{k}}[/mm]
Die [mm] $x_i$ [/mm] wären dann also [mm] $x_i [/mm] := [mm] \sqrt[k]{\frac{i}{n}}a$. [/mm] Das geht, aber wegen dem unschönen [mm] $\Delta x_i=\sqrt[k]{\frac{i}{n}}-\sqrt[k]{\frac{i-1}{n}}$ [/mm] wäre die zu berechnende Summe wohl auch nicht schöner, als was Du schon hattest..
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> Führt das zum Ergebnis?
>
> Vielen Dank für jede Antwort!
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