Riemannsche Flaechen - Koerper < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | | Die komplette Aufgabenstellung ist zu lang, ich soll beweisen, dass der Koerper der meromorfen Funktionen ueber einer kompakten Riemanschen Flaeche X (eine spezielle hyereliptische Kurve) sich darstellen laesst als [mm] K=\IC (\pi)[s] [/mm] wobei [mm] \pi [/mm] und s die Projektionen ueber die erste bzw zweite Komponente (bei X [mm] \subset [/mm] (riemannsche Sphaere)x(riemannsche Sphaere)) und damit meromorfe Funktionen sind. |
Was bedeutet die Notation [mm] \IC(\pi)[s] [/mm] ? Die Polynome in Potenzen von s mit Koeffizienten aus [mm] \IC [/mm] multipliziert mit dem Wert der ersten Projektion? Die Fuktionen gehen ja von X nach (riemannsche Sphaere).
Wo im Internet kann ich Informationen zum Zusammenhang zwischen Riemannschen Flaechen und Koerpern finden? Zur Not auch in welchem Buch?
Vielen Dank!
Adrian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Die komplette Aufgabenstellung ist zu lang, ich soll
> beweisen, dass der Koerper der meromorfen Funktionen ueber
Ist ''meromorf'' neue Rechtschreibung? Das hoert sich ja grauenvoll an!
> einer kompakten Riemanschen Flaeche X (eine spezielle
> hyereliptische Kurve) sich darstellen laesst als [mm]K=\IC (\pi)[s][/mm] [/s][/mm]
> [mm][s]wobei [mm]\pi[/mm] und s die Projektionen ueber die erste bzw zweite [/s][/mm]
> [mm][s]Komponente (bei X [mm]\subset[/mm] (riemannsche [/s][/mm]
> [mm][s]Sphaere)x(riemannsche Sphaere)) und damit meromorfe [/s][/mm]
> [mm][s]Funktionen sind.[/s][/mm]
> [mm][s] [/s][/mm]
> [mm][s][/s][/mm]
> [mm][s]Was bedeutet die Notation [mm]\IC(\pi)[s][/mm] ? Die Polynome in [/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s]Potenzen von s mit Koeffizienten aus [mm]\IC[/mm] multipliziert mit [/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s]dem Wert der ersten Projektion? Die Fuktionen gehen ja von [/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s]X nach (riemannsche Sphaere).[/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s] [/s][/mm][/s][/mm]
Also [mm] $\IC(\pi)$ [/mm] ist die Menge aller [mm] $f(\pi)$, [/mm] wobei $f [mm] \in \IC(z)$ [/mm] rationale Funktionen mit Koeffizienten in [mm] $\IC$ [/mm] (also Brueche von Polynomen) sind. Und [mm] $\IC(\pi)[s]$ [/mm] ist die Menge aller $g(s)$, wobei $g [mm] \in \IC(\pi)[z]$ [/mm] Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\IC(\pi)$.
[/mm]
Zum Beispiel liegt [mm] $\frac{\pi - 1}{5 + \pi^2} s^3 [/mm] + [mm] \pi^2 [/mm] s - 5$ in [mm] $\IC(\pi)[s]$. [/mm] Dies ist auch wieder eine Funktion von $X$ nach der Riemannschen Sphaere [mm] $\hat{\IC}$.
[/mm]
> [mm][s][mm][s]Wo im Internet kann ich Informationen zum Zusammenhang [/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s]zwischen Riemannschen Flaechen und Koerpern finden? Zur Not [/s][/mm][/s][/mm]
> [mm][s][mm][s]auch in welchem Buch?[/s][/mm][/s][/mm]
Fuer elliptische Kurven kann man das relativ elementar nachrechnen (man betrachtet elliptische Funktionen); das findet sich z.B. im Buch von Washington (Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography) oder im Buch von Silverman (Arithmetic of Elliptic Curves, Seite 154, Theorem 3.2).
LG Felix
PS: Verwende demnaechst bitte den Formeleditor etwas sorgfaeltiger, indem du z.B. [mm] und [/mm] an den richtigen Stellen benutzt. Dann kann man deine Artikel auch vernuenftig zitieren um drauf zu antworten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 01.06.2006 | | Autor: | Adrianxxxx |
Zu meiner Verteidigung: ich studier grad in Spanien, auf Spanisch gibts kein "ph" nur "f", fands am Anfang auch schlimm, aber man gewoehnt sich an alles.
Vielen Dank fuer die Hilfe bei der Notation, in dem Fall ist s durch eine quadratische Gleichung eingeschraenkt, [mm] \IC(\pi)[s] [/mm] ist also [mm] \{\IC(\pi) + s\IC(\pi)\}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 15.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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