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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 17.01.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | Sei 0 < a < b. Berechnen sie [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {(3x+1) dx} mit Hilfe der Riemannschen Summe. |
Die Aufgabe macht mich wahnsinnig.
Riemannsche Summe := [mm] \summe_{i=1}^{n}f(\varepsilon_{i})(x_{i}-x_{i-1})
[/mm]
So, mein f(x) ist das (3x-1).
Ich habe jetzt das Intervall [a,b] in n gleiche Teile der Länge [mm] \bruch{b}{n} [/mm] aufgeteilt und mein [mm] \varepsilon_{i}:=\bruch{bi}{n}=x_{i} [/mm] gesetzt.
Das alles eingesetzt ergibt: [mm] \summe_{i=1}^{n}f(\bruch{bi}{n}) [/mm] * [mm] \bruch{b}{n}
[/mm]
Daraus folgt in meinem Integral eingesetzt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (3* [mm] \bruch{bi}{n} [/mm] + 1) * [mm] \bruch{b}{n}
[/mm]
Das aufgelöst ergibt bei mir:
[mm] \bruch{3b^2}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i + [mm] \bruch{bn}{n^2}
[/mm]
Da bei [mm] \bruch{bn}{n^2} [/mm] der Laufindex i nicht auftaucht, betrachte ich diesen Bruch nicht weiter und ziehe aber aus der Summe, dass n raus und multipliziere es mit dem Bruch, so dass nur noch b da steht anstelle des Bruchs.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i := [mm] \bruch{n2 + n}{2} [/mm]
Also steht jetzt da:
[mm] \bruch{3b^2}{n^2} [/mm] * [mm] \bruch{n^{2} + n}{2} [/mm] + b
Wenn ich das auflöse, komme ich auf keinen brauchbaren Wert gegen den das Integral konvergiert.
Weiss einer, wo ich einen Fehler gemacht habe???
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Die Fehler passieren ganz am Anfang schon beim Ansatz.
Wenn [mm][a,b][/mm] das Intervall ist, dann ist seine Länge [mm]b-a[/mm] und bei Aufteilung in [mm]n[/mm] gleichgroße Teilintervalle hat ein solches die Länge
[mm]\Delta x = \frac{b-a}{n}[/mm]
Die Teilungspunkte sind
[mm]x_i = a + i \cdot \Delta x = a + i \cdot \frac{b-a}{n} \, , \ \ 0 \leq i \leq n[/mm]
Da [mm]f[/mm] streng monoton wächst, wird das Supremum in einem solchen Teilintervall [mm][x_{i-1},x_i], \ 1 \leq i \leq n[/mm] an der rechten Intervallgrenze angenommen (das gibt den Beitrag zur Obersumme), das Infimum an der linken Intervallgrenze (das gibt den Beitrag zur Untersumme).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 17.01.2006 | | Autor: | Geddie |
Ja das hatte ich schon befürchtet. dann weiss ich ja jetzt wie es geht danke!!!
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