Riemannscher Abbildungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Sa 22.08.2015 | | Autor: | november |
| Aufgabe | | Jedes einfach zusammenhängende Gebiet G [mm] \subsetneq \C [/mm] lässt sich durcch eine konforme Abbildung auf die offene Einheitskreisscheibe [mm] \mathbb{D} [/mm] abbilden. |
Ich habe den Riemannschen Abbildungssatz gegeben und auch einen Beweis aber den verstehe ich nicht. Kann man ihn in einfachen Sätzen wiedergeben, sodass ich den Sinn dahinter verstehe?
Wäre für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 So 23.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Jedes einfach zusammenhängende Gebiet G [mm]\subsetneq \IC[/mm]
> lässt sich durcch eine konforme Abbildung auf die offene
> Einheitskreisscheibe [mm]\mathbb{D}[/mm] abbilden.
> Ich habe den Riemannschen Abbildungssatz gegeben und auch
> einen Beweis aber den verstehe ich nicht. Kann man ihn in
> einfachen Sätzen wiedergeben, sodass ich den Sinn dahinter
> verstehe ?
Jeder Beweis dieses Satzes ist schwer und lang. Verstehst Du den Satz nicht oder seinen Beweis ?
Fred
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> Wäre für jede Hilfe dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 So 23.08.2015 | | Autor: | november |
Danke für die Nachfrage aber die Aussage des Satzes ist eigentlich gar nicht so schwer.
Bin einfach mit dem Beweis überfordert. Dieser wird ja in drei Abschnitte unterteilt:
1. Zuerst wird G durch eine konforme Abb. auf ein Gebiet innerhalb des Einheitskreises abgebildet, was nach einer geeigneten Möbiustransformation passiert..?
2. Da wird nach einer Extremalfunktion gesucht?
3. Es wird gezeigt,dass die gefundene Extremalfunktion den anzen Einheitskreis abbildet.
Und irgendwo wird auch das Lemma von Schwarz benutzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 So 23.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Nachfrage aber die Aussage des Satzes ist
> eigentlich gar nicht so schwer.
> Bin einfach mit dem Beweis überfordert. Dieser wird ja in
> drei Abschnitte unterteilt:
> 1. Zuerst wird G durch eine konforme Abb. auf ein Gebiet
> innerhalb des Einheitskreises abgebildet, was nach einer
> geeigneten Möbiustransformation passiert..?
> 2. Da wird nach einer Extremalfunktion gesucht?
> 3. Es wird gezeigt,dass die gefundene Extremalfunktion den
> anzen Einheitskreis abbildet.
> Und irgendwo wird auch das Lemma von Schwarz benutzt.
Ja, nicht nur das. In den Beweis geht sehr viel ein, was in der Funktionentheorie gut und teuer ist: der Satz von Montel, der Satz von Hurwitz, der Satz von Weierstraß über lokal glleichmäßige Grenzwerte holomorpher Funktionen, etc ....
Aber ich bin immer noch nicht im Bilde, wo Deine Probleme liegen.
FRED
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Ich wollte eigentlich nur eine Beweisskizze haben, wie man an den Beweis des Satzes rangeht, ohne viele Formeln. denn in jeder Formel steckt auch was dahinter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 25.08.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Das ist keine Frage im eigentlichen Sinne, sondern eher eine Antwort - dennoch wäre es gut wenn Fred sich das mal ansieht und seinen Senf dazugibt :)
Wie Fred bereits sagte ist jeder Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes ziemlich lang und verwendet entscheidende Resultate... ich versuche (soweit ich alles noch richtig im Kopf habe) dennoch den Beweis ein wenig zusammenzufassen (bzw. einen der möglichen Beweise):
Riemannscher Abbildungssatz :
Ist G ein von [mm] \mathbb{C} [/mm] verschiedenes einfach zusammenhängendes Gebiet, dann gibt es genau eine schlichte Funktion von G auf die offene Einheitskreisscheibe, die die Bedingungen f(y)=0 und f'(y)>0 für ein y aus G erfüllt.
In anderen Worten : Jedes Einfach zusammenhängende Gebiet G [mm] \subset \mathbb{C} [/mm] lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe abbilden.
Die Idee die diesem Satz vorangeht ist also : unter welchen Bedingungen ein einfach zusammenhängendes Gebiet schlicht auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden kann und unter welchen Bedingungen die holomorphe Abbildung dadurch gekennzeichnet ist.
Zum Beweis:
F sei die Gesamtheit aller in G holomorphen und schlichten Abbildungen h mit $|h(y)| [mm] \le [/mm] 1$ und h(y)=0, h'(y)>0.
F ist nicht leer.
Nun muss man sich einmal überlegen, dass das alles gut und o.k. ist :
Ist zb b ein Punkt der nicht in G liegt, kann man aufgrund des einfachen Zusammenhangs einen Zweig [mm] \sqrt{z-b} [/mm] bilden, der schlicht ist blablabla
...
( Und hier brauchen wir dann auch mal gleich : den Satz der Gebietstreue )
...
Angenommen wir haben das mal gezeigt , dann folgt aufgrund der gleichmäßigen Beschränktheit von F(durch 1), dass F relativ kompakt ist - damit ist der topologische Abschluss von F aber kompakt.
Nun überlegt man sich, dass die relative Kompaktheit die Existenz einer Teilfolge [mm] h_{n_{k}} [/mm] , welche gleichmäßig gegen die Grenzfunktion strebt, nun muss man nachweisen, dass diese Grenzfunktion die geforderten Eigenschaften besitzt
ab hier wird es Rechenarbeit.
Lg Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das ist keine Frage im eigentlichen Sinne, sondern eher
> eine Antwort - dennoch wäre es gut wenn Fred sich das mal
> ansieht und seinen Senf dazugibt :)
>
>
> Wie Fred bereits sagte ist jeder Beweis des Riemannschen
> Abbildungssatzes ziemlich lang und verwendet entscheidende
> Resultate... ich versuche (soweit ich alles noch richtig im
> Kopf habe) dennoch den Beweis ein wenig zusammenzufassen
> (bzw. einen der möglichen Beweise):
>
> Riemannscher Abbildungssatz :
> Ist G ein von [mm]\mathbb{C}[/mm] verschiedenes einfach
> zusammenhängendes Gebiet, dann gibt es genau eine
> schlichte Funktion von G auf die offene
> Einheitskreisscheibe, die die Bedingungen f(y)=0 und
> f'(y)>0 für ein y aus G erfüllt.
>
> In anderen Worten : Jedes Einfach zusammenhängende Gebiet
> G [mm]\subset \mathbb{C}[/mm] lässt sich biholomorph auf die offene
> Einheitskreisscheibe abbilden.
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>
> Die Idee die diesem Satz vorangeht ist also : unter
> welchen Bedingungen ein einfach zusammenhängendes Gebiet
> schlicht auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden
> kann und unter welchen Bedingungen die holomorphe Abbildung
> dadurch gekennzeichnet ist.
>
>
> Zum Beweis:
>
> F sei die Gesamtheit aller in G holomorphen und schlichten
> Abbildungen h mit [mm]|h(y)| \le 1[/mm] und h(y)=0, h'(y)>0.
> F ist nicht leer.
>
> Nun muss man sich einmal überlegen, dass das alles gut und
> o.k. ist :
> Ist zb b ein Punkt der nicht in G liegt, kann man aufgrund
> des einfachen Zusammenhangs einen Zweig [mm]\sqrt{z-b}[/mm] bilden,
> der schlicht ist blablabla
> ...
> ( Und hier brauchen wir dann auch mal gleich : den Satz
> der Gebietstreue )
> ...
>
> Angenommen wir haben das mal gezeigt , dann folgt aufgrund
> der gleichmäßigen Beschränktheit von F(durch 1), dass F
> relativ kompakt ist - damit ist der topologische Abschluss
> von F aber kompakt.
> Nun überlegt man sich, dass die relative Kompaktheit die
> Existenz einer Teilfolge [mm]h_{n_{k}}[/mm] , welche gleichmäßig
> gegen die Grenzfunktion strebt, nun muss man nachweisen,
> dass diese Grenzfunktion die geforderten Eigenschaften
> besitzt
>
> ab hier wird es Rechenarbeit.
Da bin ich anderer Meinung. Ab hier kommen nun 2 wichtige Sätze ins Spiel:
der Konvergenzsatz von Weierstrass und der Satz von Hurwitz.
FRED
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> Lg Thomas
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