Riemannsumme (cosh) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 17.05.2008 | | Autor: | yoman007 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Riemann-Integral [mm] \integral_{0}^{2a}{cosh (x) dx} [/mm] , a<0, mit Hilfe der zugehörigen Ober- und Untersummen. Verwenden Sie dazu die Intervallbreite 2a/n , n [mm] \in \IN [/mm] und die Darstellung [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] cosh (2jx) = (sinh (2nx - x) / 2sinh (x)) = 1/2 |
Vertstehe zwar grundlegend, wie das mit dem Riemann-Integral funktioniert. Doch Theorie und Praxis liegen oft weit auseinander.
Durch n-1 Schnitte wird mein x-Achsenabschnitt (von 0 bis 2a) in n äquidistante Stücke aufgeteilt, von denen jedes die Länge 2a/n hat, wenn ich das soweit richtig sehe.
Heißt dann ich habe laut Riemannsumme schonmal dastehen:
[mm] \summe_{j=?}^{n} [/mm] f(?) * (2a/n), da ja durch die 2a/n-Abschnitte meine zusammenzuzählenden x-Abschnitte festgelegt werden.
Ist das soweit richtig, oder muss ich die x-Abschnitte irgendwie definitionsgemäß mit xi - xi-1 beschreiben?
Wähle ich den Startpunkt bei j=0?
Wie beschreibe ich die Zwischenpunkte, habe ja nur die Intervallbreite gegeben?
Was ändert sich, wenn ich statt der Untersumme die Obersumme berechnen will?
Mein erstes Anliegen wäre erstmal, die grundliegende Summengleichung richtig festzulegen.
Wenn mir jemand dabei noch etwas dazu erklären könnte, wie man so eine Summe richtig zusammenbastelt (welche Randpunkte, wie das Intervall aufteilen usw.) wäre das echt super!
Schon mal vielen Dank!
Schöne Grüße
yoman007
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo yoman007,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie das Riemann-Integral [mm]\integral_{0}^{2a}{cosh (x) dx}[/mm]
> , a<0, mit Hilfe der zugehörigen Ober- und Untersummen.
> Verwenden Sie dazu die Intervallbreite 2a/n , n [mm]\in \IN[/mm] und
> die Darstellung [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] cosh (2jx) = (sinh (2nx -
> x) / 2sinh (x)) = 1/2
> Vertstehe zwar grundlegend, wie das mit dem
> Riemann-Integral funktioniert. Doch Theorie und Praxis
> liegen oft weit auseinander.
>
> Durch n-1 Schnitte wird mein x-Achsenabschnitt (von 0 bis
> 2a) in n äquidistante Stücke aufgeteilt, von denen jedes
> die Länge 2a/n hat, wenn ich das soweit richtig sehe.
>
> Heißt dann ich habe laut Riemannsumme schonmal dastehen:
>
> [mm]\summe_{j=?}^{n}[/mm] f(?) * (2a/n), da ja durch die
> 2a/n-Abschnitte meine zusammenzuzählenden x-Abschnitte
> festgelegt werden.
>
> Ist das soweit richtig, oder muss ich die x-Abschnitte
> irgendwie definitionsgemäß mit xi - xi-1 beschreiben?
Das ist so in Ordnung, da [mm]x_{i}-x_{i-1}=\bruch{2a}{n}[/mm]
>
> Wähle ich den Startpunkt bei j=0?
> Wie beschreibe ich die Zwischenpunkte, habe ja nur die
> Intervallbreite gegeben?
Die Zwischenpunkte lassen sich leicht berechnen, da Du n Teilintervalle von 0 bis 2a hast.
> Was ändert sich, wenn ich statt der Untersumme die
> Obersumme berechnen will?
Bei der Untersumme, beschreibst Du unterhalb der Funktion Rechtecke ein.
Bei der Obersumme, beschreibst Du oberhalb der Funktion Rechtecke ein.
Es ändern sich hierbei nur die Indizes der Summe.
Eine Skizze hilft in aller Regel weiter.
>
> Mein erstes Anliegen wäre erstmal, die grundliegende
> Summengleichung richtig festzulegen.
> Wenn mir jemand dabei noch etwas dazu erklären könnte, wie
> man so eine Summe richtig zusammenbastelt (welche
> Randpunkte, wie das Intervall aufteilen usw.) wäre das echt
> super!
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> Schon mal vielen Dank!
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> Schöne Grüße
> yoman007
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 17.05.2008 | | Autor: | yoman007 |
Heißt das, ich kann die Summe dann als [mm] \summe_{j=1}^{n} f(x_{j-1}) [/mm] * 2a/n bzw.
[mm] \summe_{j=0}^{n} f(x_{j}) [/mm] * 2a/n schreiben und muss dann nurnoch vereinfachen bis ich auf die gegebene Formel komme?
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Hallo yoman007,
> Heißt das, ich kann die Summe dann als [mm]\summe_{j=1}^{n} f(x_{j-1})[/mm]
> * 2a/n bzw.
> [mm]\summe_{j=0}^{n} f(x_{j})[/mm] * 2a/n schreiben und muss dann
Das soll bestimmt
[mm]\summe_{j=0}^{n-1} f(x_{j})* 2a/n[/mm]
heißen.
> nurnoch vereinfachen bis ich auf die gegebene Formel komme?
Ja, da ist nur der Faktor [mm]\bruch{2a}{n}[/mm], der ist von der Summe unabhängig, somit kannst den vor die Summe ziehen.
Und dann mußt irgendwie die gegebene Formel verwenden.
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 21.05.2008 | | Autor: | yoman007 |
Super, danke! Hat mir schon ziemlich weitergeholfen und ich versteh jetzt auch das Prinzip der Riemannschen Summe.
Habe die Aufgabe mal ein bisschen weitergerechnet und hänge schon wieder...
Rechne jetzt mal mit Obersumme, da ich da keine Variablen in der Summe verändern muss:
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{2a}{n}*f(j*\bruch{2a}{n}) [/mm] = ... (Substitution von 2a/n durch x und einsetzen in die gegebene Hilfsformel) ...= [mm] 2x*(\bruch{sinh(2nx-x)}{2sinh(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})= [/mm] ... (ein bisschen Kürzen und resubstituieren) ...= [mm] \bruch{\bruch{a}{n}*sinh(2a-\bruch{a}{n})}{sinh(\bruch{a}{n})}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] n-->\infty [/mm] laufen lasse, kommt nur Mist raus...0/0...schreit nach H'opital...nach Ableitung steht wieder nichts schönes da. Der Ausdruck wird ewig lang, jedoch geht nach wie vor alles gegen 0, da a/n bzw. sinh(a/n) immer irgendwo stehen bleibt...
Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du darfst nur den "kritischen" GW von x/sinh(x) mit L'Hopital verarzten; der andere Teil geht doch einfach nach sinh(2a)
Falls die GW existieren kannst du das ja als Produkt von GW schreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 22.05.2008 | | Autor: | yoman007 |
Ok, danke für die Hilfe! Der Rest dürfte ja nicht mehr so schwer sein, die Lösung kann man ja aus der FS ablesen.
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