Riemannsummen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Do 20.01.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Zeige mit Riemannsummen, dass [mm] \integral_{0}^{2x}{sin(x) dx}=0 [/mm] gilt. Zeige dies nicht mit Hilfe einer Stammfunktion und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hab das Thema im Tutorium irgendwie nicht verinnerlicht. Eine Stammfunktion wär das Einzige was mir einfallen würde das zu beweisen. Hab keine Ahnung wie das mit den Riemannsummen gehen soll :O.
Danke schon mal im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Do 20.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige mit Riemannsummen, dass [mm]\integral_{0}^{2x}{sin(x) dx}=0[/mm]
> gilt. Zeige dies nicht mit Hilfe einer Stammfunktion und
> dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich hab das Thema im Tutorium irgendwie nicht
> verinnerlicht. Eine Stammfunktion wär das Einzige was mir
> einfallen würde das zu beweisen. Hab keine Ahnung wie das
> mit den Riemannsummen gehen soll :O.
> Danke schon mal im Voraus.
> Gruß
Hallo,
die Riemannsumme ist - sehr grob gesagt- die Summe der Flächeninhalte sehr vieler und sehr schmaler Streifchen, wobei die Streifen über der x-Achse positiv und die Streifen unter der x-Achse negativ gezählt werden.
Aufgrund der symmetrischen Form der Sinuskurve heben sich dabei positive und negative Flächenanteile gegenseitig auf.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 20.01.2011 | | Autor: | David90 |
Achso alles klar jetz wo dus sagst wirds mir klar. Aber meinst du das reicht wenn ich das in Worten erkläre oder lieber rechnerisch? Vielleicht indem ich die zwei Flächen einer vollen Schwingung ausrechne und wenn man die addiert kommt ja 0 raus. Die Frage ist wie ich das mache, mit der Formel der Riemannsumme?
Gruß David
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Huhu,
> Vielleicht indem ich die zwei Flächen einer vollen Schwingung ausrechne und wenn man die addiert kommt ja 0 raus.
Naja, so einfach ist das leider nicht ganz.
Du kannst es ja mal probieren und dir überlegen, warum bei der Ober- bzw Untersumme über das gesamte Intervall bei einer äquidistanten Zerlegung nie Null rauskommt.
Aber wenn du voraussetzen kannst, dass die Funktion Riemann-Integrierbar ist, kannst du das Integral zerlegen in den Anteil, wo die Funktion positiv und in den, wo die Funktion negativ ist.
Dann weißt Du ja insbesondere, dass das Integral der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme ist.
D.h. es gilt: [mm] $\integral_{a}^{b}f(x) \;dx [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} O_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} U_n$
[/mm]
Nimm nun fürs erste Teilintervall die Obersumme und fürs zweite die Untersumme und zeige, dass bei der Summe von beiden dann immer Null rauskommt, dann hast dus  (Warum?)
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 22.01.2011 | | Autor: | David90 |
Oha...hab die Riemannsumme nie so richtig verstanden...sind da äquidistanten Zerlegung und Ober-bzw. Untersumme geläufige Begriffe?xD also du meinst ich soll erstmal zeigen, dass die Funktion Riemann-Integrierbar ist und dann kann ich das in Ober-und Untersumme zerlegen. Aber wie zeig ich denn, dass die Funktion Riemann-Integrierbar ist? Also man kann ja einfach zeigen, dass die Funktion sin(x) integrierbar ist, also die Stammfunktion wär ja -cos(x). Aber das hab ich ja dann nich mit der Riemannsume gezeigt xD und bei der Ober- und Untersumme würden sich ja nur die Grenzen verändern oder? Also bei der Obersumme von 0 bis pi und bei der Untersumme von pi bis 2 pi. Gibt doch bestimmt ne allgemeine Formel für die Riemannsumme oder nicht?
Gruß David90
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Sa 22.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Da schon vom Hauptsatz die Rede war, habt Ihr sicher schon gehabt, dass stetige Funktionen integrierbar sind.
Für n [mm] \in \IN [/mm] wähle die Zerlegungspunkte [mm] x_j [/mm] wie folgt:
$ [mm] x_j:=\bruch{j}{2n}*2 \pi$ [/mm] (j=0,1, ..., 2n)
Du hast also eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [0, 2 [mm] \pi] [/mm] in 2n+1 Teilpunkte
Beachte, dass [mm] x_n [/mm] = [mm] \pi [/mm] ist.
Eine Riemannsumme ist dann:
[mm] $S_n:=\summe_{j=1}^{2n}sin(x_j)*(x_j-x_{j-1})$
[/mm]
Wenn Du nun beherzigst, dass für ein x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi] [/mm] gilt:
$sin(x+ [mm] \pi)=-sin(x)$,
[/mm]
solltest Du herausbekommen, dass [mm] S_n=0 [/mm] ist.
Andererseits, da sin(x) integrierbar ist, gilt : [mm] S_n \to \integral_{0}^{2 \pi}{sin(x) dx}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:41 Sa 22.01.2011 | | Autor: | David90 |
Also wie gesagt ich weiß so gut wie garnichts über Riemansummen,d.h. auch nicht wie man vorgeht. Also erstmal überlegt man , ob die Funktion stetig, ist denn dann ist sie integrierbar, as hatten wir schon ja. sin(x) ist stetig, also integrierbar, somit ist die Voraussetzung erfüllt. Soweit hab ichs schon verstanden:man teilt die Fläche unter dem Graph in n-Rechtecke ein. Dann rechnet man die Obersumme aus, da müsste 0 rauskommen und dann die Untersumme und da kommt dann auch 0 raus. Erste Frage: kann man sich die Einteilung, also das n aussuchen oder rechnet man allgemein mit dem n weiter? Zweite Frage: es gibt doch bestimmt eine allgemeine Formel für die Obersumme und eine für die Untersumme oder?Dritte Frage: Wie kommst du denn auf [mm] x_{j}:=\bruch{j}{2n}*2\pi [/mm] ?
Sorry für meine Unwissenheit xD
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | David90 |
Sorry dass ich nochmal nerve aber bräuchte wirklich noch ein bisschen hilfe bei der aufgabe:(
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 24.01.2011 | | Autor: | David90 |
War natürlich ein Frage:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Deine eigentliche Frage ist doch noch rot markiert. Das sollte reichen. 
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo David,
Du schreibst: "Also wie gesagt ich weiß so gut wie gar nichts über Riemannsummen"
Weißt Du mittlerweile mehr ?
Wenn ja, ich hab Dir doch hier
https://matheraum.de/read?i=761756
gesagt wie es geht.
Wenn nein, tja dann mach Dich schlau.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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