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Forum "Differenzialrechnung" - Riesenableitung bei Taylorp.
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Riesenableitung bei Taylorp.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Mo 02.02.2009
Autor: pawlow

Aufgabe
Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm]T_4 (x)[/mm] zur Funktion [mm]f(x) = \ln(1+sin(x))[/mm] an der Entwicklungsstelle [mm]x_0 = 0[/mm].

Guten Abend!

Ich habe auf dem Weg zum Taylorpolynom nun folgende Ableitungen gebildtet:

[mm]f'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}[/mm]

[mm]f''(x) = \frac{-\sin x -\sin²x -\cos²x}{(1+\sin x)²}[/mm]

[mm]f'''(x) = \frac{-\cos x (1+\sin x)^2 + (\sin x +\sin² x + \cos² x) 2 \cos x (1 + \sin x)}{(1+\sinx)^4}[/mm]

Die letzte ließe sich vielleicht noch vereinfachen, aber es graut mir auf jeden Fall vor der vierten Ableitung! Gibt es da eine einfacherer Lösung oder ist mir ein Fehler unterlaufen?

Vielen Dank und schlaft recht gut!
~ Pawlow

PS: Ich habe diese Frage natürlich in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Riesenableitung bei Taylorp.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Mo 02.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo pawlow und herzlich [willkommenmr],

> Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm]T_4 (x)[/mm] zur Funktion [mm]f(x) = \ln(1+sin(x))[/mm]
> an der Entwicklungsstelle [mm]x_0 = 0[/mm].
>  Guten Abend!
>  
> Ich habe auf dem Weg zum Taylorpolynom nun folgende
> Ableitungen gebildtet:
>  
> [mm]f'(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}[/mm] [ok]
>  
> [mm]f''(x) = \frac{-\sin x -\sin²x -\cos²x}{(1+\sin x)²}[/mm] [ok]

Das kannst du aber schön vereinfachen:

[mm] $\frac{-\sin(x)-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{(1+\sin(x))^2}=\frac{-\sin(x)-(\sin^2(x)+\cos^2(x))}{(1+\sin(x))^2}=\frac{-\sin(x)-1}{(1+\sin(x))^2}=-\frac{1+\sin(x)}{(1+\sin(x))^2}=-\frac{1}{1+\sin(x)}$ [/mm]

Damit sollte sich die 3. Ableitung einfacher berechnen lassen

>  
> [mm]f'''(x) = \frac{-\cos x (1+\sin x)^2 + (\sin x +\sin² x + \cos² x) 2 \cos x (1 + \sin x)}{(1+\sinx)^4}[/mm]

Habe ich nicht mehr überprüft, würde auch mit der vereinfachten 2.Ableitung weiter machen :-)

>  
> Die letzte ließe sich vielleicht noch vereinfachen, aber es
> graut mir auf jeden Fall vor der vierten Ableitung! Gibt es
> da eine einfacherer Lösung oder ist mir ein Fehler
> unterlaufen?
>  
> Vielen Dank und schlaft recht gut!

Du auch!

>  ~ Pawlow
>  
> PS: Ich habe diese Frage natürlich in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.


[gutenacht]

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Riesenableitung bei Taylorp.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Fr 06.02.2009
Autor: pawlow

Danke! Ich habs eben erst gesehen. Hatte es fast vergessen, da ich mittlerweile die "implizite Differentation" beherrsche (beherrsche denken wir uns jetzt mal kleingedruckt!) und damit ging es auch ganz gut. Aber danke, die Vereinfaching des Terms ist ja wirklich erstaunlich. Ich hoffe, ich sehe das auch irgendwann...

Liebe Grüße
~ pawlow

Bezug
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