Riesenrad < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich moechte ein Objekt einem Freund zuwerfen, der in einem Riesenrad faehrt. Dazu sind folgende Parametische Gleichungen gegeben fuer den Freund:
r(t) = 15(sin [mm] \bruch{pi*t}{10})i [/mm] + (16- 15 cos [mm] \bruch{pi*t}{10})j
[/mm]
und fuer das riesenrad:
r(t) = [22-8.03 [mm] (t-t_0)i [/mm] + [1+11.47 [mm] (t-t_0)- [/mm] 4.9 [mm] (t-t_0)^2] [/mm] j
a) finde die Position des Freundes wenn t =0
b) Finde die Anzahl der Umdrehungen des Riesenrades pro Minute
c) Finde die Geschwindigkeit und den Winkel in welchem des Objekt geworfen wird wenn [mm] t=t_0
[/mm]
d) finde den Zeitrahmen in dem die Person das Objekt fangen kann und schaetze die Geschwindigkeit des Freundes und Objekts |
Frage a und b konnte ich selber loesen, bei a muss man t einfach einsetzen und beim zweiten weiss ich, dass eine volle umdrehung 2 pi ist. Die restlichen Teilaufgaben habe ich leider keinerelei ahnung und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Vielen Dank
Julia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Ich moechte ein Objekt einem Freund zuwerfen, der in einem
> Riesenrad faehrt. Dazu sind folgende Parametische
> Gleichungen gegeben fuer den Freund:
> [mm]r(t) = 15(\sin \bruch{pi*t}{10})i + (16- 15 \cos \bruch{pi*t}{10})j[/mm]
> und fuer das riesenrad:
> [mm] r(t) = [22-8.03 (t-t_0)i + [1+11.47 (t-t_0)- 4.9 (t-t_0)^2] j[/mm]
Das ist r(t) für das Objekt, nicht für das Riesenrad, oder verstehe ich die Aufgabe falsch?
(Das ist nämlich die Parabel für den schiefen Wurf, auch der Wert von $2*4.9=9.8$ für die Erdbeschleunigung stimmt.)
> a) finde die Position des Freundes wenn t =0
> b) Finde die Anzahl der Umdrehungen des Riesenrades pro
> Minute
> c) Finde die Geschwindigkeit und den Winkel in welchem des
> Objekt geworfen wird wenn [mm]t=t_0[/mm]
> d) finde den Zeitrahmen in dem die Person das Objekt
> fangen kann und schaetze die Geschwindigkeit des Freundes
> und Objekts
> Frage a und b konnte ich selber loesen, bei a muss man t
> einfach einsetzen und beim zweiten weiss ich, dass eine
> volle umdrehung 2 pi ist. Die restlichen Teilaufgaben habe
> ich leider keinerelei ahnung und hoffe, dass mir jemand
> helfen kann.
Für c) musst du die Geschwindigkeit des Objekts durch Ableitung von $r(t)$ bestimmen.
Zu d): Der Freund kann das Objekt fangen, wenn sich beide am gleichen Ort befinden, wenn also
[mm] \vec{r}_{\text{Freund}}(t) = \vec{r}_{\text{Objekt}}(t) [/mm]
Dies ist eine Vektorgleichung, aus der du t bestimmen musst. Dazu müssen die jeweiligen Anteile in Richtung von $i$ und von $j$ unabhängig voneinander gleich sein.
Tipp: dividiere die beiden entstehenden Gleichungen durcheinander. Die entstehende transzendente Gleichung lässt sich nur näherungsweise lösen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Vielen dank erstmal und du hast recht es ist der Weg des Objekts. Aber ich kann dann trotzem einfach t als 2 pi setzen damit ich die Umdrehung pro Minute bekomme?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Vielen dank erstmal und du hast recht es ist der Weg des
> Objekts. Aber ich kann dann trotzem einfach t als 2 pi
> setzen damit ich die Umdrehung pro Minute bekomme?
Nein. Die Drehung des Riesenrades wird doch durch [mm] $r_{\text{Freund}}(t)$ [/mm] beschrieben. Eine komplette Drehung hast du, sobald das Argument des Sinus bzw. Cosinus gerade gleich [mm] $2\pi$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ok ich versuche mich gerade an der Ableitung von r und des sollte ja eigentlich kein Problem sein, aber ich habe ja t- [mm] t_0 [/mm] und dann t= [mm] t_0 [/mm] und jetzt bin ich gerade leicht verwirrt weil wenn ich [mm] t_0 [/mm] fuer t einsetze fallen dann nicht alle [mm] t_0 [/mm] raus oder verstehe ich es gerade nur falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Ok ich versuche mich gerade an der Ableitung von r und des
> sollte ja eigentlich kein Problem sein, aber ich habe ja [mm]t- t_0[/mm]
> und dann [mm]t= t_0[/mm] und jetzt bin ich gerade leicht
> verwirrt weil wenn ich [mm]t_0[/mm] fuer t einsetze fallen dann
> nicht alle [mm]t_0[/mm] raus oder verstehe ich es gerade nur falsch?
Erst ableiten, dann [mm] $t=t_0$ [/mm] einsetzen!
Du willst doch [mm] $r'(t_0)$ [/mm] ausrechnen. Erst Einsetzen, dann ableiten wäre [mm] $(r(t_0))'=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
ok ich hab mich dann mal an die sache ran gemacht:
a)r(0) = 0 i + 1 j
b) r(2π)=15 [mm] (sin\bruch{2∙pi^2}{10} [/mm] i= 16-15 [mm] cos\bruch{2∙pi^2}{10} [/mm] j=13.80 i+21.88 j
c) r'(t)= -8.03 i + 11.47- 9.8 t [mm] r(t_0) [/mm] = -8.03 i, 11.47 j und die geschwindigkeit ist ||v|| und des ist ||v|| = wurzel{ [mm] 8,03^2 [/mm] + [mm] 11.47^2 +9.8t^2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:18 Mi 30.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
c) ist falsch, r' ist falsch, und due willst v(t0)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
b) ist auch falsch: nicht das Argument von r muss [mm] $2\pi$, [/mm] sondern das des Sinus:
[mm]2\pi = \bruch{\pi}{10} T [/mm]
für die Umlaufzeit T.
Bei der c) ist beim Ableiten [mm] $t_0$ [/mm] verloren gegangen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo,
haette ich dann einfach fuer T = 2*10 ? des hoert sich bisschen viel ein fuer eine Minute.
Und einen neuen versuch zum ableiten: [mm] -8.03*t+8.03t_0i+11.47*t-11.47*t_0+9,8t-9.8t-9.8t_0+9.8t_0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Hallo,
> haette ich dann einfach fuer T = 2*10 ? des hoert sich
> bisschen viel ein fuer eine Minute.
Das ist die Zeit für eine Umdrehung, nicht die Anzahl der Umdrehungen pro Minute!
> Und einen neuen versuch zum ableiten:
> [mm]-8.03*t+8.03t_0i+11.47*t-11.47*t_0+9,8t-9.8t-9.8t_0+9.8t_0[/mm]
Nein. Schau mal, alle Terme, die kein t enthalten sind konstant und fallen daher beim Ableiten weg:
[mm] -8.03 i + (11.47 - 9.8(t-t_0))j [/mm]
Das ist auch logisch: der Anteil in Richtung von i ist $22-8.03 [mm] (t-t_0)i [/mm] $, also eine gleichförmige Bewegung mit Geschwindigkeit $-8.03$. Also bleibt bei der Ableitung nur der Term $-8.03$ übrig (in Richtung $i$).
In Richtung $j$ ist eine beschleunigte Bewegung: wenn du mit [mm] $s_0+v_0(t-t_0) [/mm] + [mm] \bruch{a}{2}(t-t_0)^2$ [/mm] vergleichst, siehst du, dass es eine Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit [mm] $v_0=11.47$ [/mm] und Beschleunigung $a=2*(-4.9)$ ist. Also ergibt sich die Ableitung [mm] $v_0+a(t-t_0)$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo Rainer
danke erstmal fuer deine super tolle Hilfe.
Ok, also wenn ich dann [mm] t=t_0, [/mm] dann kommt fuer mein r'(t) folgendes raus -8.03i +11.47j weil [mm] a(t_0 -t_0) [/mm] = 0 und die geschwindigkeit waere dann ||v||= 14 m/s Jetzt soll ich ja noch den Abwurfwinkel bestimmen und ich dachte dass man des ueber die Flugweite bestimmen kann und zwar mit der Formel [mm] x=\bruch{v_0*sin 2*(a)}{g} [/mm] und dann nach sin(a) aufloesen wobei ich mir nicht sicher bin welchen x wert zunehmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Hallo Rainer
> danke erstmal fuer deine super tolle Hilfe.
> Ok, also wenn ich dann [mm]t=t_0,[/mm] dann kommt fuer mein r'(t)
> folgendes raus -8.03i +11.47j weil [mm]a(t_0 -t_0)[/mm] = 0 und die
> geschwindigkeit waere dann ||v||= 14 m/s Jetzt soll ich ja
> noch den Abwurfwinkel bestimmen und ich dachte dass man des
> ueber die Flugweite bestimmen kann und zwar mit der Formel
> [mm]x=\bruch{v_0*sin 2*(a)}{g}[/mm] und dann nach sin(a) aufloesen
> wobei ich mir nicht sicher bin welchen x wert zunehmen.
Einfacher gehts über die Geschwindigkeitskomponenten: wenn du dir den Wurf aufmalst, dann siehst du, dass
[mm]\tan \alpha = \bruch{v_j}{v_i} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ich habe mich gerade nochmal mit dem letzten Punkt beschaeftigt und zwar die Schaetzun der zeit und die beiden Anteile gleichgesetzt:
15 [mm] sin\bruch{(pi)*t}{10}=22-8.03(t-t_0) [/mm] was dann nach t aufgeloest folgendes ergibt: [mm] 15*sin\bruch{(pi)}{10*8.03}-22 [/mm] = [mm] \bruch{t-t_0}{t}
[/mm]
und dann fuer die j Komponente:
[mm] 16-15cos\bruch{pi*t}{10}=1+11.47t-11.47t_0-4.9*t^2+9.8*t*t_0-4.9t_0^2)
[/mm]
[mm] 16-15cos\bruch{pi*t}{10}= 1+6,57*t+9,8t*t_0+6.57*t_0
[/mm]
und des gibt dann:
[mm] 16-15cos\bruch{pi}{10}-1=\bruch{6,57*t+9,8t*t_0+6.57*t_0}{t}
[/mm]
Irgendwie sieht des ganze ziemlich kompliziert aus und ich bin mir nicht sicher ob es richtig ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Ich habe mich gerade nochmal mit dem letzten Punkt
> beschaeftigt und zwar die Schaetzun der zeit und die beiden
> Anteile gleichgesetzt:
> 15 [mm]sin\bruch{(pi)*t}{10}=22-8.03(t-t_0)[/mm] was dann nach t
> aufgeloest folgendes ergibt: [mm]15*sin\bruch{(pi)}{10*8.03}-22[/mm]
> = [mm]\bruch{t-t_0}{t}[/mm]
Das geht so gar nicht: Sinus und Cosinus sind transzendente Funktionen, da kannst du nicths rausziehen.
Zur Verdeutlichung erstmal ein Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der blaue Kreis zeigt die Bahn des Freundes im Riesenrad; die rote Kurve den Wurf. Der Abwurf passiert zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] am Punkt $(22,1)$, das Objekt fliegt von rechts nach links. Der Freund kann es nur fangen, wenn es das Riesenrad passiert, also an den zwei Schnittpunkten der roten Kurve mit dem blauen Kreis - vorausgesetzt, er befindet sich gerade an diesem Punkt, wenn das Objekt vorbeifliegt. Der Trick besteht also darin, das Objekt genau so zu werfen, dass es an einem der beiden Schnittpunkte ankommt, wenn der Freund auch gerade dort ist.
Mit anderen Worten: du musst den Abwurfzeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] passend bestimmen (schätzen).
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hi Rainer,
erstmal vielen dank fuer den Graphen der hat dass ganze um doch einiges vereinfacht: Ich hatte dann mal den Wert fuer [mm] t_2 [/mm] auf ungefaher 1 geschaetzt und fuer [mm] t_1 [/mm] auf ungefaehr 3. Wenn ich jetzt noch den Wurfwinkel und Geschwindigkeit abschaetzen soll wie wurde ich das machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Julia!
> Hi Rainer,
> erstmal vielen dank fuer den Graphen der hat dass ganze um
> doch einiges vereinfacht: Ich hatte dann mal den Wert fuer
> [mm]t_2[/mm] auf ungefaher 1 geschaetzt und fuer [mm]t_1[/mm] auf ungefaehr
> 3. Wenn ich jetzt noch den Wurfwinkel und Geschwindigkeit
> abschaetzen soll wie wurde ich das machen?
Wurfwinkel und Geschwindigkeit sind doch vorgegeben durch die Gleichung für [mm] $r_{\text{Objekt}}$. [/mm] Du kannst nur [mm] $t_0$ [/mm] verändern.
Du sollst [mm] $t_0$ [/mm] so bestimmen, dass der Freund im Riesenrad zum gleichen Zeitpunkt an einem der beiden Schnittpunkte ist wie das geworfene Objekt. Dazu solltest du
1. die Koordinaten der beiden Schnittpunkte bestimmen;
2. ausrechnen, wann der Freund dort vorbeikommt [mm] ($t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$)
[/mm]
3. ausrechnen, wie lange der Flug des Objekts vom Abwurfpunkt zu diesen beiden Punkten dauert [mm] ($t_1-t_0$ [/mm] bzw. [mm] $t_2-t_0$).
[/mm]
Aus Schritt 2 und 3 kannst du dann [mm] $t_0$ [/mm] bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ich habe des mit der Zeit so gemacht, wie du es beschrieben hast, mein einziges problem ist, dass ich des mit dem Wurf winkel nicht rausbekomme
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe des mit der Zeit so gemacht, wie du es beschrieben
> hast, mein einziges problem ist, dass ich des mit dem Wurf
> winkel nicht rausbekomme
Du kennst doch die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit [mm] $t_0$:
[/mm]
[mm] $ -8.03 i + 11.47 j [/mm]
Den Winkel bekommst du, indem due dir das Geschwindigkeitsdreieck nimmst (-8.03 in i-Richtung, +11.47 in j-Richtung):
[mm] \tan\alpha = \bruch{11.47}{8.03} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
