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| Aufgabe | Sei A ein kommutativer Ring mit 1. Ferner seien a , b und c Ideale in A.
Man zeige:
i) ab [mm] \subset [/mm] a [mm] \cap [/mm] b
ii) ( a + b )( a [mm] \cap [/mm] b ) [mm] \subset [/mm] ab
iii) a ( b [mm] \cap [/mm] c ) [mm] \subset [/mm] ab [mm] \cap [/mm] ac
iv) a ( b+c )= ab + ac
Sind die Inklusionen strikt? |
Hallo, ich habe Probleme mit dieser aufgabe
ab beschreibt ja nichts anderes als die Summe der linearkominationen, also [mm] \sum a_i*b_i, [/mm] a [mm] \in [/mm] a , b [mm] \in [/mm] b
ISt a [mm] \cap [/mm] b := [mm] \sum (a_i+b_i) [/mm] ?
Ich müsste also für i) zeigen [mm] a_x*b_x \in \sum a_i*b_i \Rightarroy a_x*b_x \in \sum (a_i+b_i) [/mm]
Wäre für jede hilfe dankbar!!
weihnachtsman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Sa 10.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
poste solche fragen nächstes mal idealerweise ins uni formu, dort erhälst du vermutlich deutlich schneller eine antwort.
> Sei A ein kommutativer Ring mit 1. Ferner seien a , b und c
> Ideale in A.
> Man zeige:
> i) ab [mm]\subset[/mm] a [mm]\cap[/mm] b
> ii) ( a + b )( a [mm]\cap[/mm] b ) [mm]\subset[/mm] ab
> iii) a ( b [mm]\cap[/mm] c ) [mm]\subset[/mm] ab [mm]\cap[/mm] ac
> iv) a ( b+c )= ab + ac
> Hallo, ich habe Probleme mit dieser aufgabe
>
> ab beschreibt ja nichts anderes als die Summe der
> linearkominationen, also [mm]\sum a_i*b_i,[/mm] a [mm]\in[/mm] a , b [mm]\in[/mm] b
>
> ISt a [mm]\cap[/mm] b := [mm]\sum (a_i+b_i)[/mm] ?
nein, das was du schreibst sieht schon eher nach der summe von zwei idealen aus. [mm] $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} [/mm] = [mm] \{x \in A: x \in \mathfrak{a} \textrm{ und } x \in \mathfrak{b} \}$ [/mm] ist einfach der mengentheoretische schnitt. der beweis von i) ist damit ganz einfach.
grüße
andreas
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Hallo ;)
i)
zu zeigen :
x [mm] \in [/mm] ab [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (a [mm] \cap [/mm] b)
Beweis:
x [mm] \in \sum a_ib_i=a_1b_1+...*a_nb_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in a_ib_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in a_i [/mm] und x [mm] \in b_i
[/mm]
ist das richtig so?
weihnachtsman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> zu zeigen :
> x [mm]\in[/mm] ab [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a [mm]\cap[/mm] b)
>
> Beweis:
> x [mm]\in \sum a_ib_i=a_1b_1+...*a_nb_n[/mm]
dir ist schon klar, dass hier auf der rechten seite eine menge stehen sollte, also etwa $x [mm] \in \left\{ \sum_{i=1}^n a_ib_i: n \in \mathbb{N}, a_i \in \mathfrak{a}, b_i \in \mathfrak{b}\right\}$?
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in a_ib_i[/mm]
was soll das heißen? links steht ein element des rings, rechts auch, wie können die in einander enthalten sein?
mach dir lieber klar, dass man $x [mm] \in \mathfrak{ab}$ [/mm] per definition eben als $x = [mm] \sum_{i=1}^n a_ib_i$ [/mm] mit $ n [mm] \in \mathbb{N}, a_i \in \mathfrak{a}, b_i \in \mathfrak{b}$ [/mm] schreiben kann. was kann man über die einzelnen summanden aussagen? liegen die etwa in bestimmten idealen?
grüße
andreas
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hallo
iv)
x [mm] \in [/mm] a (b+c)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \sum a_i(b_i+c_i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \sum (a_ib_i+a_ic_i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \sum a_ib_i+ \sum a_ic_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ab und x [mm] \in [/mm] x [mm] \in [/mm] ac
hab ich das jetzt richtig gemacht?
weihnachtsmann
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Hallo nochmal!
i)
x [mm] \in [/mm] ab
[mm] \Rightarrow [/mm] x in [mm] \sum a_ib_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x in [mm] (a_1b_1+ [/mm] ... + [mm] a_nb_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in a_ib_i [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in (a_i-b_i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in a_i+b_i
[/mm]
wäre die i) so richtig? ich hoffe mal 
kann mich ansonsten jm verbessern bzw. eine teilaufgabe vorrechnen? Ich bin mir hier irgendwie ganz unsicher....
Wäre nett!
zu iii und iv, was ist hier genau der unterschied?
Danke für jede Hilfe im Vorraus!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> i)
> x [mm]\in[/mm] ab
> [mm]\Rightarrow[/mm] x in [mm]\sum a_ib_i[/mm]
wie oben soll auch hier wieder statt dem "in" ein gleichheitszeichen stehen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x in [mm](a_1b_1+[/mm]
> ... + [mm]a_nb_n)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in a_ib_i[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
wo kommt den hier auf einemal das [mm] $\exists \, [/mm] x$ her? du bist doch mit einem $x [mm] \in \mathfrak{ab}$ [/mm] gestartet und willst zeigen, dass dieses konkrete $x$ auch in [mm] $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ [/mm] liegt und nicht nur, dass darin (irgendein) $x$ existiert?
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in (a_i-b_i)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x
> [mm]\in a_i+b_i[/mm]
was in diesen drei zeilen passiert verstehe ich überhaupt nicht. ich denke, diese rechnung ist eben aus genau dem missverständniss heraus entstanden, wie ständig das [mm] $\in$ [/mm] statt dem $=$ auftaucht. schau dir bitte nochmal die definitionen der hier auftretenden ideale (produkt, schnitt, summe) an und überlege dir dann, wie du die aussagen beweisen kannst. sobald du die definitionen verstanden hast, sollten die beweise nicht mehr schwer sein, aber ohne verständniss der definitionen sind die beweise natürlich unmöglich... stelle ruhig fragen zum verständniss der definitionen respektive poste diese mal hier.
> zu iii und iv, was ist hier genau der unterschied?
[mm] $\cap \not= [/mm] +$.
grüße
andreas
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I, J (ideale) [mm] \in [/mm] R
IJ:={ab| [mm] a\in [/mm] I, b [mm] \in [/mm] J}
I+J:=({a+b | a [mm] \in [/mm] I , b [mm] \in [/mm] J})
sind das die definitionen? diese hab ich bei wikipedia gefunden, aber für mich sind das irgendwie keine defintionen...
das produkt von 2 idealen ist das produkt von 2 Elementen aus den Idealen???
oh man ich kapier das alles nich......... *verzweifel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> I, J (ideale) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R
>
> IJ:={ab| [mm]a\in[/mm] I, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J}
> I+J:=({a+b | a [mm]\in[/mm] I , b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J})
ja fast, bis auf dass die erzeugniss klammern ("$(...)$") beim produkt und nicht bei der summe stehen sollten.
> sind das die definitionen? diese hab ich bei wikipedia
> gefunden, aber für mich sind das irgendwie keine
> defintionen...
warum denn nicht? was widerstrebt dir das als definition hinzunehmen? wenn ihr zu sowas übungsaufgaben gestellt bekommt habt ihr doch bestimmt auch diese definitionen in der vorlesung gehabt?
> das produkt von 2 idealen ist das produkt von 2 Elementen
> aus den Idealen???
nein, siehe oben. aber die summe von zwei idealen ist die menge (da stehen ja auf der rechten seite mengenklammern) aller summen von elementen der beiden ideale. wenn dir diese definitionen bisher noch so suspekt vorkommen schau dir doch einfach mal ein paar beispiele an. welche ideale enthält denn der ring $\mathbb{Z}$? nimm dir doch mal zwei dieser ideale her und berechne deren schnitt, deren summe und deren produkt. vielleicht wird dir das alles dann schon deutlich klarer, was diese operationen mit den idealen machen. wenn du nicht weiterkommst, kannst du ja deine rechnung mal hier präsentieren.
grüße
andreas
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welche ideale
> enthält denn der ring [mm]\mathbb{Z}[/mm]? nimm dir doch mal zwei
> dieser ideale her und berechne deren schnitt, deren summe
> und deren produkt.
Der Ring [mm] \IZ [/mm] enhält die ideale 0 und [mm] \IZ
[/mm]
SChnitt = {0}
Produkt ={0}
Summe [mm] =\IZ
[/mm]
Richtig?
ein weiteres ideal von [mm] \IZ [/mm] wäre [mm] \IN [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Der Ring [mm]\IZ[/mm] enhält die ideale 0 und [mm]\IZ[/mm]
>
> SChnitt = {0}
> Produkt ={0}
> Summe [mm]=\IZ[/mm]
>
> Richtig?
ja, das stimmt. mach das aber am besten mal mit nicht so trivialen idealen, da sieht man vermutlich mehr. mach dir am besten klar, dass $m [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{mx: x \in \mathbb{Z} \}$ [/mm] (also alle vielfachen von $m$) für jedes $m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] ein ideal ist. wie sieht dann schnitt, summe und produkt von [mm] $2\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $3\mathbb{Z}$ [/mm] aus?
> ein weiteres ideal von [mm]\IZ[/mm] wäre [mm]\IN[/mm] oder?
ist [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] denn eine gruppe bezüglich addition? existieren insbesondere inverse zu $1, 2, 3, ...$?
grüße
andreas
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hallo,
> ideal ist. wie sieht dann schnitt, summe und produkt von
> [mm]2\mathbb{Z}[/mm] und [mm]3\mathbb{Z}[/mm] aus?
>
Summe: 2x+3x=5x [mm] \Rightarrow 2\IZ +3\Z [/mm] = [mm] 5\IZ [/mm] kann man das so aufschreiben?
Produkt: [mm] 2x*3x=6x^2 \Rightarrow 2\IZ *3\Z [/mm] = [mm] 6\IZ^2
[/mm]
Schnitt [mm] 2\IZ \cap [/mm] 3 [mm] \IZ [/mm] ={0,6,12,...}= [mm] 6\Z [/mm]
wie schreibt man das hier richtig mathematisch auf?
>
> > ein weiteres ideal von [mm]\IZ[/mm] wäre [mm]\IN[/mm] oder?
>
> ist [mm]\mathbb{N}[/mm] denn eine gruppe bezüglich addition?
> existieren insbesondere inverse zu [mm]1, 2, 3, ...[/mm]?
nein, stimmt da hast du recht...
>
> grüße
> andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Summe: $2x+3x=5x [mm] \Rightarrow 2\IZ +3\Z [/mm] = [mm] 5\IZ$ [/mm] kann man das
> so aufschreiben?
waum sollte das $x$ denn in beiden fällen das gleiche sein? [mm] $2\mathbb{Z} [/mm] + 3 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{y + y': y \in 2\mathbb{Z}, y' \in 3\mathbb{Z}\} [/mm] = [mm] \{2x + 3x': x, x' \in \mathbb{Z}\}$. [/mm] wählt man nun etwa $x' = y' = 0$, so folgt $2 [mm] \in 2\mathbb{Z} [/mm] + 3 [mm] \mathbb{Z}$, [/mm] das kann also nicht gleich [mm] $5\mathbb{Z}$ [/mm] sein, da darin $2$ offensichtlich nicht enthalten ist. überlege dir mal, ob $1 [mm] \in 2\mathbb{Z} [/mm] + 3 [mm] \mathbb{Z}$? [/mm] was kann man über ideale aussagen, die die $1$ enthalten (denke an die definition des ideals, was muss da dann auf jeden fall alles drinliegen?)?
> Produkt: [mm]2x*3x=6x^2 \Rightarrow 2\IZ *3\Z[/mm] = [mm]6\IZ^2[/mm]
was soll denn das [mm] $\mathbb{Z}^2$ [/mm] hier?
> Schnitt [mm]2\IZ \cap[/mm] 3 [mm]\IZ[/mm] ={0,6,12,...}= [mm]6 \IZ [/mm]
ja, das passt.
grüße
andreas
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hallo
. überlege dir mal, ob [mm]1 \in 2\mathbb{Z} + 3 \mathbb{Z}[/mm]?
ja denn -2+3=1
[mm] 2\IZ+3 \IZ =\IZ
[/mm]
> was kann man über ideale aussagen, die die [mm]1[/mm] enthalten
> (denke an die definition des ideals, was muss da dann auf
> jeden fall alles drinliegen?)?
dann muss auch die -1 im ideal liegen und damit kann ich dann jede ganz zahl darstellen, denn z.B. 5=10-1-1-1-1-1
>
>
>
Produkt: [mm] 2\IZ *3\Z[/mm] [/mm] = [mm]6\IZ[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> hallo
> . überlege dir mal, ob [mm]1 \in 2\mathbb{Z} + 3 \mathbb{Z}[/mm]?
> ja denn -2+3=1
genau.
> [mm]2\IZ+3 \IZ =\IZ[/mm]
> > was kann man über ideale aussagen, die
> die [mm]1[/mm] enthalten
> > (denke an die definition des ideals, was muss da dann auf
> > jeden fall alles drinliegen?)?
> dann muss auch die -1 im ideal liegen und damit kann ich
> dann jede ganz zahl darstellen, denn z.B. 5=10-1-1-1-1-1
im prinzip ja, aber besser argumentiert man mit der eigenschaft, dass für ein ideal $I$ in einem ring $A$ gilt: [mm] $\forall \, [/mm] a [mm] \in A\;\forall \, [/mm] x [mm] \in [/mm] I:ax [mm] \in [/mm] I, xa [mm] \in [/mm] I$, sonst hat man nur die additiv vielfachen der $1$ drin und das ist im allgemeinen nicht der ganze ring (zum beispiel bei polynomringen).
> Produkt: [mm]2\IZ *3\Z[/mm][/mm] = [mm]6\IZ[/mm]
ja. und in diesem spezialfall siehst du damit, dass die aussage i) deiner aufgabe stimmt
wenn dir nun etwas klarer ist, um was für strukturen es sich bei schnitt, produkt und summe von idealen handelt, kannst du dich ja wieder an deiner aufgabe versuchen.
grüße
andreas
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hallo
irgendwie kann ich dass nicht allgemein beweisen, anschaulich ist es mir jetzt dank deiner hilfe klar ! *freu*
ich hab mal den beweis zu i) nochmal versucht
[mm] x\in [/mm] a'b'={ab | a [mm] \in [/mm] a' , b [mm] \in [/mm] b'}
[mm] \Rightarrow [/mm] x= az und x= bw z, w [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] a' und x [mm] \in [/mm] b'
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> ich hab mal den beweis zu i) nochmal versucht
>
> [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a'b'={ab | a [mm]\in[/mm] a' , b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
b'}
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= az und x= bw z, w [mm]\in \IN[/mm]
hm, warum natürliche zahlen? also aus $x [mm] \in \mathfrak{ab}$ [/mm] folgt doch, dass $x$ die form hat $x = [mm] \sum_{i=1}^n a_ib_i$ [/mm] mit $n [mm] \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathfrak{a}$, $b_i \in \mathfrak{b}$ [/mm] nach definition des produktes von idealen (schau dir diese definition nochmal an). nun überlege dir aus welcher idealeigenschaft dann [mm] $a_ib_i \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ [/mm] für $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$ folgt? was kann man dann über die gesamte summe, also über $x$, aussagen?
grüße
andreas
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nun überlege dir aus welcher
> idealeigenschaft dann [mm]a_ib_i \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}[/mm]
> für [mm]1 \leq i \leq n[/mm] folgt?
es folgt aus der eigenschaft, dass
wenn a [mm] \in [/mm] a' , r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] ar [mm] \in [/mm] a'
was kann man dann über die
> gesamte summe, also über [mm]x[/mm], aussagen?
[mm] x=\sum r*a_ib_i [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> nun überlege dir aus welcher
> > idealeigenschaft dann [mm]a_ib_i \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}[/mm]
> > für [mm]1 \leq i \leq n[/mm] folgt?
>
> es folgt aus der eigenschaft, dass
>
> wenn a [mm]\in[/mm] a' , r [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] ar [mm]\in[/mm] a'
genau.
> was kann man dann über die
> > gesamte summe, also über [mm]x[/mm], aussagen?
>
> [mm]x=\sum r*a_ib_i[/mm]
was soll denn das $r$ auf einmal hier? nach voraussetzung ist doch $x = [mm] \sum a_ib_i$? [/mm] da kann das ja (im allgemeinen) nicht plötzlich das selbe sein wie $rx$?
du weißt doch nun, dass die [mm] $a_ib_i \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ [/mm] für alle $i$. andererseits ist [mm] $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ [/mm] ein ideal (ist dir das klar?) und somit gilt für $y, z [mm] \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$, [/mm] dass auch $y + z [mm] \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$. [/mm] was kann man damit für $x= [mm] a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_2 [/mm] + ... + [mm] a_nb_n$ [/mm] aussagen?
schreibe damit die aufgabe mal sauber auf. ich muss jetzt weg...
grüße
andreas
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guten morgen,
ich hatte hier einen kleinen Fehler gemacht statt [mm] \in [/mm] sollte da = stehen...
hier ist die korrigierte Version
i)
x [mm] \in [/mm] a'b'
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] =\sum a_ib_i=a_1b_1+...+a_nb_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall a_ib_i [/mm] : [mm] a_ib_i \in [/mm] a' [mm] \cap [/mm] b'
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (a' [mm] \cap [/mm] b')
Zur Frage ob die Inklusion strikt ist.
Nein, denn [mm] 2\IZ*3 \IZ=6 \IZ [/mm] und [mm] 2\IZ \cap [/mm] 3 [mm] \IZ [/mm] =6 [mm] \IZ
[/mm]
hoffentlich ist es jetzt richtig ....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> x [mm]\in[/mm] a'b'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \sum a_ib_i=a_1b_1+...+a_nb_n[/mm]
hier immernoch das selbe problem, welches von mir in den antworten https://matheraum.de/read?i=403818, https://matheraum.de/read?i=403999, https://matheraum.de/read?i=403997 angesprochen wurde: es macht doch keinen sinn, dass ein ringelement element eines anderen ringelements ist (also etwa $5 [mm] \in [/mm] 1 + 2$ macht doch keinerlei sinn?).
> [mm]\Rightarrow \forall a_ib_i[/mm] : [mm]a_ib_i \in[/mm] a' [mm]\cap[/mm] b'
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a' [mm]\cap[/mm] b')
grundsätzlich ist da schon einiges richtiges dabei. es muss aber natürlich dir klar sein, was du hier machst und du musst zu jedem schritt eine begründung liefern können.
grüße
andreas
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sodele
ich glaub ich hab die ii) jetzt raus:
ii)
x [mm] \in [/mm] (a'+b')(a' [mm] \cap [/mm] b')
[mm] \Rightarrow x=\sum(a_i+b_i)*(z) [/mm] (z [mm] \in [/mm] a' und z [mm] \in [/mm] b')
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] (a_1+b_1+a_2b_2+...a_nb_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=a_1z+zb_1+a_2z+zb_2+...a_nz+za_n [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \sum a_ib_i, [/mm] (da z [mm] \in [/mm] a' und z [mm] \in [/mm] b')
[mm] \Rightarrow [/mm] x = a'b'
und hier die iii)
x [mm] \in [/mm] a'(b' [mm] \cap [/mm] a')
[mm] \Rightarrow x=\sum (a_i) [/mm] *(w) w [mm] \in [/mm] b' und w [mm] \in [/mm] c'
[mm] \Rightarrow x=a_1(w)+a_2(w)+...+a_n(w)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\sum a_ib_i+\sum a_ic_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (a'b' [mm] \cap [/mm] a'c')
könnte ich recht haben ? 
Lg
weihnachtsman
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> ii)
> x [mm]\in[/mm] (a'+b')(a' [mm]\cap[/mm] b')
> [mm]\Rightarrow x=\sum(a_i+b_i)*(z)[/mm] (z [mm]\in[/mm] a' und z [mm]\in[/mm] b')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm](a_1+b_1+a_2b_2+...a_nb_n[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=a_1z+zb_1+a_2z+zb_2+...a_nz+za_n[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm]\sum a_ib_i,[/mm] (da z [mm]\in[/mm] a' und z [mm]\in[/mm] b')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = a'b'
hier ist so einiges schief gegangen (dritte zeile mal statt plus, das $z$ verschwindet in der dritten zeile, taucht danach aber wieder auf und dann doch nicht mehr...), überprüfe deine rechnungen nochmal, bevor ich das jetzt alles auseinander nehme.
> und hier die iii)
>
> x [mm]\in[/mm] a'(b' [mm]\cap[/mm] a')
> [mm]\Rightarrow x=\sum (a_i)[/mm] *(w) w [mm]\in[/mm] b' und w [mm]\in[/mm] c'
> [mm]\Rightarrow x=a_1(w)+a_2(w)+...+a_n(w)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=\sum a_ib_i+\sum a_ic_i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a'b' [mm]\cap[/mm] a'c')
auch hier: warum verschwindet das $z$ und wohin? in der ersten zeile sollte das letzte ideal wohl auch c' heißen.
grüße
andreas
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hi
>
> > ii)
> > x [mm]\in[/mm] (a'+b')(a' [mm]\cap[/mm] b')
> > [mm]\Rightarrow x=\sum(a_i+b_i)*(z)[/mm] (z [mm]\in[/mm] a' und z [mm]\in[/mm]
> b')
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm](a_1+b_1+a_2b_2+...a_nb_n)z[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x=a_1z+zb_1+a_2z+zb_2+...a_nz+za_n[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm]\sum a_ib_i,[/mm] (da z [mm]\in[/mm] a' und z [mm]\in[/mm] b')
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x = a'b'
>
das z ist ja a' und b' enhalten, deshalb kann man [mm] a_1z+zb_1+a_2z+zb_2+...a_nz+za_n [/mm] als [mm] \sum a_ib_i [/mm] schreiben... weißt du was ich meine? etwas unsauber formuliert z ist also gleich [mm] a_i [/mm] und gleichzeitig auch [mm] b_i [/mm]
kann man das so sagen?
> hier ist so einiges schief gegangen (dritte zeile mal statt
> plus, das [mm]z[/mm] verschwindet in der dritten zeile, taucht
> danach aber wieder auf und dann doch nicht mehr...),
> überprüfe deine rechnungen nochmal, bevor ich das jetzt
> alles auseinander nehme.
>
>
> > und hier die iii)
> >
> > x [mm]\in[/mm] a'(b' [mm]\cap[/mm] c')
> > [mm]\Rightarrow x=\sum (a_i)[/mm] *(w) w [mm]\in[/mm] b' und w [mm]\in[/mm] c'
> > [mm]\Rightarrow x=a_1(w)+a_2(w)+...+a_n(w)[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x=\sum a_ib_i+\sum a_ic_i[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a'b' [mm]\cap[/mm] a'c')
>
> auch hier: warum verschwindet das [mm]w[/mm] und wohin? in der
> ersten zeile sollte das letzte ideal wohl auch c' heißen.
hier würde ich genauso argumentieren, wie oben...
Lg weihnachtsman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> das z ist ja a' und b' enhalten, deshalb kann man
> [mm]a_1z+zb_1+a_2z+zb_2+...a_nz+za_n[/mm] als [mm]\sum a_ib_i[/mm]
> schreiben... weißt du was ich meine? etwas unsauber
> formuliert z ist also gleich [mm]a_i[/mm] und gleichzeitig auch [mm]b_i[/mm]
> kann man das so sagen?
das ist sehr unsauber aufgeschrieben, so haben die [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] ja verschiedene bedeutungen. definiere dir im zweifel lieber neue variablen [mm] $a_i'$ [/mm] welche eben aus den [mm] $a_k$, $b_j$ [/mm] und $z$ bestehen und und zeige für diese eben, dass sie in dem gewünschten ideal enthalten sind, so kann man deine rechnung ja nich nachvollziehen, da man nie weiß, was das [mm] $a_i$ [/mm] gerade bedeuten soll...
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> i)
> x [mm]\in[/mm] a'b'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]=\sum a_ib_i=a_1b_1+...+a_nb_n[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall a_ib_i[/mm]
> : [mm]a_ib_i \in[/mm] a' [mm]\cap[/mm] b'
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a' [mm]\cap[/mm] b')
also die implikationen stimmen nun alle so. die frage ist natürlich, ob dir die argumente klar sind. ich würde aber insbesondere beim zweiten und dritten implikationspfeil noch eine begründung angeben, da hier ja bestimmte eigenschaften ausgenutzt werden.
> Zur Frage ob die Inklusion strikt ist.
> Nein, denn [mm]2\IZ*3 \IZ=6 \IZ[/mm] und [mm]2\IZ \cap[/mm] 3 [mm]\IZ[/mm] =6 [mm]\IZ[/mm]
das passt. du kannst dir auch noch überlegen, dass hier im allgemeinen keine gleichheit herscht, sondern man da wirklich ein inkulsionszeichen stehen haben muss (auch dafür gibt es beispiele in [mm] $\mathbb{Z}$).
[/mm]
grüße
andreas
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hallo andreas!
vielen dank für deine geduld und deine hilfen!!!!!
Auch wenn die aufgabe für mich mühsam war, die Mühe hat sich gelohnt..
lg
weihnachtsman
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Hallo Andreas,
wir haben die Definitonen nicht im Skript drinne, jedenfalls hab ich sie nicht gefunden... und die defintion vom schnitt die ich bei wikipedia gefunden habe, ist
I [mm] \cap [/mm] J =(I [mm] \cap [/mm] J)
verstehe ich nicht, könntest du mir da noch mal kurz auf die sprünge helfen?
haben die klammern eine besondere bedeutung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> wir haben die Definitonen nicht im Skript drinne,
> jedenfalls hab ich sie nicht gefunden...
das ist schlecht. dann kann man euch solch eine aufgabe ja kaum stellen...
> und die defintion
> vom schnitt die ich bei wikipedia gefunden habe, ist
> I [mm]\cap[/mm] J =(I [mm]\cap[/mm] J)
>
> verstehe ich nicht, könntest du mir da noch mal kurz auf
> die sprünge helfen?
> haben die klammern eine besondere bedeutung?
ja, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier. da es sich hier um einen kommutativen ring mit $1$ handelt, kannst du dich auf die beschreibnung nach "... wenn R zusätzlich noch kommutativ ist, gilt sogar:" zurückziehen, das ist vermutlich die mit der hier am einfachsten zu arbeiten ist und entspricht auch der von mir in meiner zweiten antwort (für das produkt von idealen) angegebene. da aber schon in dieser angabe drinsteckt, dass dieses erzeugnis hier gar nicht benötigt wird (es stimmt ja schon mit dem schnitt überein), kannst du hier einfach mit dem mengentheoretischen schnitt arbeiten (siehe meine erste antwort, da steht eine explizite beschreibung des schnittes)
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> iv)
>
> x [mm]\in[/mm] a (b+c)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \sum a_i(b_i+c_i)[/mm]
warum steht hier denn ein [mm] $\in$-zeichen? [/mm] wie letztesmal schon angemerkt steht hier sowohl links als auch rechts ein element des ringes, wie sollen die den ineinander enthalten sein (was macht $5 [mm] \in [/mm] 3$ in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] für einen sinn?). wen du das [mm] $\in$ [/mm] durch ein $=$ ersetzt stimmt dieser schluss aber wieder.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \sum (a_ib_i+a_ic_i)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in \sum a_ib_i+ \sum a_ic_i[/mm]
das geht im großen und gazen schon in die richtige richtung, bis eben auf das oben angemerkte. probiere das alles mal richtig aufzuschreiben und die einzelnen schritte zu rechtfertigen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\in[/mm] ab und x [mm]\in[/mm] x [mm]\in[/mm] ac
mit welcher begründung folgerst du hier denn, dass $x$ in den beiden von dir angegeben idealen liegt? und warum? die willst doch zeigen, dass es in der summe der beiden (wie ist diese denn definiert) liegt?
grüße
andreas
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hallo
zur iv)
die kommt mir jetzt irgendwie zu simpel vor
[mm] x\in [/mm] a'(b'+c')
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] (a'b'+a'c') wegen dem distributiv gesetz von ringen
die iii) wäre ähnlich
x [mm] \in [/mm] a'(b'+c')
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ((a'b')+(a'c'))
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (a'b') und x [mm] \in [/mm] (a'c')
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (a'b' [mm] \cap [/mm] a'c')
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> zur iv)
>
> die kommt mir jetzt irgendwie zu simpel vor
>
> [mm]x\in[/mm] a'(b'+c')
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] (a'b'+a'c') wegen dem distributiv gesetz
> von ringen
bedenke, dass (in deiner notation) $a', b', c'$ ideale und keine elemente des rings sind. das man mit idealen (so ähnlich) rechnen darf, soll ja gerade in dieser aufgabe gezeigt werden. nimm dir dazu ein $x [mm] \in \mathfrak{a}(\mathfrak{b} [/mm] + [mm] \mathfrak{c})$ [/mm] her, das heißt $ x = [mm] \sum_{i = 0}^n a_i(b_i [/mm] + [mm] c_i)$ [/mm] mit den bezeichnungen wie üblich, dann ...
> die iii) wäre ähnlich
>
> x [mm]\in[/mm] a'(b'+c')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] ((a'b')+(a'c'))
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a'b') und x [mm]\in[/mm] (a'c')
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (a'b' [mm]\cap[/mm] a'c')
siehe oben. warum steht denn am ende ein schnittzeichen. in deiner ursprünglichen aufgabenstellung stand da ein plus.
grüße
andreas
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Hallo,
die überarbeitete iv)
x [mm]\in[/mm] a'(b'+c')´
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \sum a_i(b_i+c_i)
[/mm]
[mm] =a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)+...+a_n(b_n+c_n)
[/mm]
[mm] =a_1b_1+a_1c_1+a_2b_2+a_2c_2+...+a_nb_n+a_nc_n
[/mm]
[mm] =\sum (a_ib_i+a_ic_i)
[/mm]
[mm] =\sum a_ib_i+\sum a_ic_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ((a'b')+(a'c'))
stimmt die so wie ich sie jetzt aufgeschrieben habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> die überarbeitete iv)
>
> x [mm]\in[/mm] a'(b'+c')´
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\sum a_i(b_i+c_i)[/mm]
>
> [mm]=a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)+...+a_n(b_n+c_n)[/mm]
> [mm]=a_1b_1+a_1c_1+a_2b_2+a_2c_2+...+a_nb_n+a_nc_n[/mm]
> [mm]=\sum (a_ib_i+a_ic_i)[/mm]
> [mm]=\sum a_ib_i+\sum a_ic_i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] ((a'b')+(a'c'))
das stimmt soweit du solltest natürlich noch erklären, dass [mm] $a_i \in \mathfrak{a}$ [/mm] und so weiter. die andere richtung musst du dann natürlich auch noch zeigen, in der aufgabe steht ja keine inklusion, sondern eine gleichheit.
grüße
andreas
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Wenn ich alles richtig verstanden und interpretiert habe, stimmt dann folgender Ansatz für die i)?
Sei x [mm] \in [/mm] ab.
=> x:= [mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i=\alpha_1\beta_1 [/mm] + ... + [mm] \alpha_n\beta_n
[/mm]
[mm] \alpha \in [/mm] a [mm] \subset [/mm] A, [mm] \beta \in [/mm] b [mm] \subset [/mm] A.
=> Für alle r,s [mm] \in [/mm] A : [mm] r\alpha \in [/mm] a und [mm] s\beta \in [/mm] b
Setze r:= [mm] \beta, [/mm] s:= [mm] \alpha.
[/mm]
=> [mm] \alpha\beta \in [/mm] a und [mm] \alpha\beta \in [/mm] b
=> x [mm] \in [/mm] a und x [mm] \in [/mm] b
=> x [mm] \in [/mm] a cap b
=> ab [mm] \subset [/mm] a [mm] \cap [/mm] b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei x [mm]\in[/mm] ab.
> => x:= [mm]\summe_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i=\alpha_1\beta_1[/mm] +
> ... + [mm]\alpha_n\beta_n[/mm]
> [mm]\alpha \in[/mm] a [mm]\subset[/mm] A, [mm]\beta \in[/mm] b [mm]\subset[/mm] A.
hier sollte wohl [mm] $\alpha_i \in [/mm] a$ statt [mm] $\alpha \in [/mm] a$ stehen
> => Für alle r,s [mm]\in[/mm] A : [mm]r\alpha \in[/mm] a und [mm]s\beta \in[/mm] b
> Setze r:= [mm]\beta,[/mm] s:= [mm]\alpha.[/mm]
> => [mm]\alpha\beta \in[/mm] a und [mm]\alpha\beta \in[/mm] b
> => x [mm]\in[/mm] a und x [mm]\in[/mm] b
> => x [mm]\in[/mm] a cap b
> => ab [mm]\subset[/mm] a [mm]\cap[/mm] b
ansonsten passt das alles.
grüße
andreas
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