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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $R$ ein Ring ohne Eins. Definiere auf der Menge [mm] $\mathbb{Z} \times [/mm] R$ Verknüpfungen durch:
$(m,a) + (n,b)= (m+n, a+b)$ und [mm] $(m,a)\cdot [/mm] (n,b) = (mn, mb+na+ab)$. Zeige, dass [mm] $\mathbb{Z}\times [/mm] R $ dadurch zu einem Ring mit Eins wird, der $R$ als Teilring enthält. |
Ich möchte die Lösung dieses Problems in Zusammenarbeit mit euch erstellen.
Ich weiß leider hier nicht, wie man die Ringaxiome hier nachweisen soll/kann. Ich habe es mit dem Einsetzen versucht, aber mit dem komme ich nicht voran.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mi 17.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R[/mm] ein Ring ohne Eins. Definiere auf der Menge
> [mm]\mathbb{Z} \times R[/mm] Verknüpfungen durch:
> [mm](m,a) + (n,b)= (m+n, a+b)[/mm] und [mm](m,a)\cdot (n,b) = (mn, mb+na+ab)[/mm].
> Zeige, dass [mm]\mathbb{Z}\times R[/mm] dadurch zu einem Ring mit
> Eins wird, der [mm]R[/mm] als Teilring enthält.
>
> Ich möchte die Lösung dieses Problems in Zusammenarbeit
> mit euch erstellen.
>
> Ich weiß leider hier nicht, wie man die Ringaxiome hier
> nachweisen soll/kann. Ich habe es mit dem Einsetzen
> versucht, aber mit dem komme ich nicht voran.
Nun, Einsetzen ist aber schon der richtige Ansatz.
Zeig uns doch mal, was du bisher gerechnet hast und wo du nicht weiterkommst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Hallo Felix!
Zur Assoziativität:
$(m,a)+((n,b)+(o,c))=(m,a)+(n+o,b+c)=(m+n+o,a+b+c) = (m+n, a+b)+(o,c)=((m,a)+(n,b))+(o,c)...$ passt dies?
Zur Existenz des neutralen Elements: zz. (m,a)+(e,f) = (m,a)
Hier komm ich nicht weiter, ich weiß nicht, wie ich das letzte zeigen soll, dass es ein Element gibt, dass zu den anderen neutral sich verhält. Einsetzen kommt hier nicht zum Ziel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Eine recht banale Idee zur Existenz des neutralen Elements:
zz. $(m,a)+(e,f)=(m,a)$
$(m,a)+(e,f)=(m+e,a+f)=(m,a). Letzteres gilt sicher, da ja $e$ und $f$ im Einzelnen neutrale Elemente bezüglich "gewöhnlicher" Addition darstellen...
Richtig?
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Hallo clemenum,
> Eine recht banale Idee zur Existenz des neutralen Elements:
> zz. es existiert ein [mm](e,f)\in\IZ\times R[/mm] mit [mm](m,a)+(e,f)=(m,a)[/mm]
> $(m,a)+(e,f)=(m+e,a+f)=(m,a). Letzteres gilt sicher, da ja
> [mm]e[/mm] und [mm]f[/mm] im Einzelnen neutrale Elemente bezüglich
> "gewöhnlicher" Addition darstellen...
> Richtig?
Hmm, naja, etwas genauer:
Was ist [mm]e[/mm] und was [mm]f[/mm]?
[mm]e[/mm] muss sich additiv neutral in der [mm]\IZ[/mm]-Komponente verhalten, [mm]f[/mm] additiv neutral in der [mm]R[/mm]-Komponente.
Wähle also [mm]e=0_{\IZ}[/mm] (also die 0 in [mm]\IZ[/mm]) und [mm]f=0_R[/mm] (also die 0 im Ring [mm]R[/mm])
Damit ist [mm](0_{\IZ},0_R)\in\IZ\times R[/mm] und für [mm](m,a)\in\IZ\times R[/mm] gilt [mm](m,a)+(0_{\IZ},0_R)=(m,a)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 17.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Zur Assoziativität:
> [mm](m,a)+((n,b)+(o,c))=(m,a)+(n+o,b+c)=(m+n+o,a+b+c) = (m+n, a+b)+(o,c)=((m,a)+(n,b))+(o,c)...[/mm]
> passt dies?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 17.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Wenn ich R1, R2, R§ gezeigt habe (also die Axiome der Ringe), wie kann ich dann zeigen, dass R ein Teilring ist, ergibt sich dies denn nicht eh schon notwendig aus den Nachweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 17.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich R1, R2, R§ gezeigt habe (also die Axiome der
> Ringe), wie kann ich dann zeigen, dass R ein Teilring ist,
> ergibt sich dies denn nicht eh schon notwendig aus den
> Nachweisen?
Nun, $R$ ist keine Teilmenge. Du musst zeigen, dass [mm] $\phi [/mm] : R [mm] \to \IZ \times [/mm] R$, $x [mm] \mapsto [/mm] (0, x)$ ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
LG Felix
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Dass es ein Ringhomomorphismus ist, muss gezeigt werden, dass [mm] $\phi(a+b)=\phi(a)\cdot \phi(b)$ [/mm] gilt.
Es tut mir leid, aber ich habe dabei momentan Verständisschwierigkeiten.
$a+b$ ist ja definiert als $(m,a)+(n,b)$ und [mm] $\phi(a+b)$ [/mm] als $(m+n, a+b).$ Ich kann mir aber leider nichts unter [mm] $\phi(a)\cdot \phi(b) [/mm] $ vorstellen. Es exisiert ja nur $a+b$ oder [mm] $a\cdot [/mm] b$ aber a bzw. b alleine können doch keine Bilder haben. Ich denke, wenn du mir sagst, was [mm] $\phi(a+b)$ [/mm] und was [mm] $\phi(a)\cdot \phi(b) [/mm] $ ist, dann kenne ich mich aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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