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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] A \subseteq P(X)[/mm] eine Mengenalgebra über X, wobei P(X) die Potenzmenge von X ist.
Zeigen Sie:
Mit der symmetrischen Differenz [mm] A \Delta B:=(A \backslash B)\cup (B \backslash A) [/mm] als Addition und dem Schnitt [mm] A \cap B [/mm] als Multiplikation ist A ein Ring mit Einselement. |
Nur eine kurze Frage.
Wenn ich zeige, dass P(X) ein solcher Ring ist,
ist die Aufgabe dann gelöst?
(da [mm] A \subseteq P(X) [/mm]?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ist Folgendes zu zeigen?
1.) Assoziativität von [mm] \Delta
[/mm]
2.) Neutrales Element bzgl. [mm] \Delta
[/mm]
3.) Inverses bzgl. [mm] \Delta
[/mm]
4.) Kommutativität von [mm] \Delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow (A,\Delta) [/mm] ist abelsche Gruppe.
5.) Assoziativität von [mm] \cap
[/mm]
6.) Gültigkeit der Distributivgesetze
[mm] \Rightarrow (A,\Delta,\cap) [/mm] ist Ring.
7.) Einselement
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei [mm]A \subseteq P(X)[/mm] eine Mengenalgebra über X, wobei P(X)
> die Potenzmenge von X ist.
>
> Zeigen Sie:
> Mit der symmetrischen Differenz [mm]A \Delta B:=(A \backslash B)\cup (B \backslash A)[/mm]
> als Addition und dem Schnitt [mm]A \cap B[/mm] als Multiplikation
> ist A ein Ring mit Einselement.
>
>
>
> Nur eine kurze Frage.
> Wenn ich zeige, dass P(X) ein solcher Ring ist,
> ist die Aufgabe dann gelöst?
> (da [mm]A \subseteq P(X) [/mm]?)
Nein, dass reicht nicht, damit würdest du nur zeigen, dass A eine Teilmenge eines Ringes ist. A wäre damit aber noch nicht notwendig abgeschlossen unter den angegebenen Abbildungen. Wenn du allerdings weißt, dass P(X) ein Ring ist, kannst du ausrechnen, dass A ein Unterring ist. Allerdings kannst du es dann eigentlich auch direkt ausrechnen, genau wie du in deinem zweiten Kommentar beschrieben hast.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Okay, dann halte ich mich an meine Beweisskizze.
Vielen Dank für die Bestätigung!
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