Ring, aber auch Körper? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Do 05.01.2012 | | Autor: | opia |
| Aufgabe | i) [mm] \mathbb [/mm] Z [X] / [mm] (3,X^2+1) \\
[/mm]
ii) [mm] S^{-1}(\mathbb [/mm] Q[X]) [mm] \text{ mit } [/mm] S:= [mm] \mathbb [/mm] Q [X] - X [mm] \mathbb [/mm] Q [X] [mm] \\
[/mm]
iii) [mm] S^{-1} \mathbb [/mm] Q [mm] \text{ für eine beliebige multiplikative Menge } [/mm] S [mm] \subseteq \mathbb [/mm] Q [mm] -\{0\} [/mm] |
Hallo Matheraum,
diese Teilaufgaben machen mir zu schaffen.
zu i) Mir ist bekannt, dass der Faktorring [mm] \mathbb [/mm] R [X] / [mm] (X^2+1) [/mm] isomorph zum Körper der Komplexen Zahlen ist. Ist das der Gegebene auch?
Tendiere zu: ist Körper.
zu ii) Ist S in der Form überhaupt multiplikativ? Tendiere zu: kein Körper.
zu iii) [mm] \mathbb [/mm] Q ist Integritätsbereich, S [mm] \subseteq \mathbb [/mm] Q - [mm] \{0\} [/mm] ist [mm] S^{-1} \mathbb [/mm] Q Quotientenkörper von [mm] \mathbb [/mm] Q
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Do 05.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> i) [mm]\mathbb[/mm] Z [X] / [mm](3,X^2+1) \\[/mm]
> ii) [mm]S^{-1}(\mathbb[/mm] Q[X])
> [mm]\text{ mit }[/mm] S:= [mm]\mathbb[/mm] Q [X] - X [mm]\mathbb[/mm] Q [X] [mm]\\[/mm]
> iii) [mm]S^{-1} \mathbb[/mm] Q [mm]\text{ für eine beliebige multiplikative Menge }[/mm]
> S [mm]\subseteq \mathbb[/mm] Q [mm]-\{0\}[/mm]
Hier stehen ein Haufen kommutative Ringe mit Eins. Was genau ist denn hier die Frage? Ob diese Koerper sind?
Und ist $Q = [mm] \IQ$? [/mm] Oder was soll $Q$ sein?
> diese Teilaufgaben machen mir zu schaffen.
> zu i) Mir ist bekannt, dass der Faktorring [mm]\mathbb[/mm] R [X] /
> [mm](X^2+1)[/mm] isomorph zum Körper der Komplexen Zahlen ist. Ist
> das der Gegebene auch?
Nein, der gegebene Ring ist nicht isomorph zum Koerper der komplexen Zahlen.
> Tendiere zu: ist Körper.
Ja, es ist ein Koerper. Du kannst ihn erstmal einfacher schreiben, als Koerpererweiterung vom Koerper [mm] $\IZ/3\IZ$. [/mm] (Dazu brauchst du einen Isomorphiesatz.)
> zu ii) Ist S in der Form überhaupt multiplikativ?
Ja. (Da das von $X$ erzeugte Ideal ein Primideal ist.)
> Tendiere zu: kein Körper.
Es ist auch keiner. Gib doch einfach ein Element an, welches kein Inverses hat.
> zu iii) [mm]\mathbb[/mm] Q ist Integritätsbereich, S [mm]\subseteq \mathbb[/mm]
> Q - [mm]\{0\}[/mm] ist [mm]S^{-1} \mathbb[/mm] Q Quotientenkörper von
> [mm]\mathbb[/mm] Q
Der Code von dem was du schriebst liest sich so als redest du vom Koerper [mm] $\IQ$. [/mm] Aber warum beschraenkst du dich dann darauf, dass es ein Integritaetsbrereich ist? Es ist doch bereits ein Koerper!
Ist $R$ ein Int'bereich und $Q$ der zugehoerige Quotientenkoerper, so kannst du [mm] $S^{-1} [/mm] R$ immer als Unterring von $Q$ auffassen, der $R$ umfasst (solange $0 [mm] \not\in [/mm] S$ gilt). Was folgt daraus, wenn $R$ bereits ein Koerper ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 05.01.2012 | | Autor: | opia |
Hallo felixf,
verzeihung, natürlich soll man nennen, welche Ringe auch Körper sind und dies begründen. Und es ist stets [mm] \IQ [/mm] gemeint.
i) als Körpererweiterung von [mm] \IZ/3\IZ? [/mm] Den Zusammenhang sehe ich nun nicht. [mm] \IZ[X]/(3,X^2+1) [/mm] | [mm] \IZ/3\IZ [/mm] ? Weil jeder Körper einen Teilkörper enthält der zu [mm] \IQ [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] isomorph ist?
ii) Ich bin mir unsicher was X [mm] \IQ [/mm] [X] sein soll.
Aber Inverse müssen doch in der Einheitengruppe des Ringes sein. Und in der Einheitengruppe von [mm] \IQ [/mm] sind doch alle Elemente ungleich 0. Ich finde aber für kein [mm] \bruch{f}{g} \in (S^{-1}(\IQ [/mm] [X]))* mit [mm] \bruch{g}{f} \not\in
[/mm]
[mm] S^{-1}(\IQ [/mm] [X])
iii) [mm] S^{-1}R \subseteq [/mm] R [mm] \subseteq [/mm] Quot(R) und da Quot(R) := [mm] S^{-1}R [/mm] gilt Gleichheit.
Also da [mm] S^{-1}\IQ [/mm] = [mm] \IQ [/mm] = Quot [mm] (\IQ) [/mm] und somit [mm] S^{-1}\IQ [/mm] Körper, da S [mm] \subseteq \IQ -\{0\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> verzeihung, natürlich soll man nennen, welche Ringe auch
> Körper sind und dies begründen. Und es ist stets [mm]\IQ[/mm]
> gemeint.
Ok.
> i) als Körpererweiterung von [mm]\IZ/3\IZ?[/mm] Den Zusammenhang
> sehe ich nun nicht. [mm]\IZ[X]/(3,X^2+1)[/mm] | [mm]\IZ/3\IZ[/mm] ?
Nunja, wenn du [mm] $\IZ[X]/(3,X^2+1)$ [/mm] passend umschreibst mit den Isomorphiesaetzen bekommst du etwas was eine Erweiterung von [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] ist.
> Weil
> jeder Körper einen Teilkörper enthält der zu [mm]\IQ[/mm] oder
> [mm]\IZ[/mm] / 3 [mm]\IZ[/mm] isomorph ist?
Naja, [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] hat keinen Teilkoerper, der isomorph zu [mm] $\IQ$ [/mm] oder [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] ist 
Wenn du $3$ durch $p$ (prim) ersetzt, stimmt es. Und hier hast du dann den Teilkoerper [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] mit $p = 3$.
> ii) Ich bin mir unsicher was X [mm]\IQ[/mm] [X] sein soll.
Das ist das von $X$ erzeugte Hauptideal.
> Aber Inverse müssen doch in der Einheitengruppe des Ringes
> sein. Und in der Einheitengruppe von [mm]\IQ[/mm] sind doch alle
> Elemente ungleich 0. Ich finde aber für kein [mm]\bruch{f}{g} \in (S^{-1}(\IQ[/mm]
> [X]))*
Es wird auch schwierig eine Einheit zu finden, die keine Einheit ist.
Du solltest lieber bei den Nicht-Einheiten schauen...
> mit [mm]\bruch{g}{f} \not\in[/mm]
> [mm]S^{-1}(\IQ[/mm] [X])
Ueberleg dir, welche [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] ueberhaupt auftreten koennen, also was $g$ sein kann. Dann such ein [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] so dass $f$ kein Nenner sein darf (und das $f$ und $g$ teilerfremd sind); dann ist [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] keine Einheit.
(Und $f$ sollte natuerlich nicht 0 sein. Das waer langweilig...)
> iii) [mm]S^{-1}R \subseteq[/mm] R [mm]\subseteq[/mm] Quot(R) und da Quot(R)
> := [mm]S^{-1}R[/mm] gilt Gleichheit.
Das ist Quark.
Erstens gilt $R [mm] \subseteq S^{-1} [/mm] R [mm] \subseteq [/mm] Quot(R)$.
Zweitens gilt $Quot(R) = [mm] S^{-1} [/mm] R$ per Definition erstmal nur fuer ein bestimmtes $S$, naemlich fuer $S = R [mm] \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
Hier hast du aber eine beliebige multiplikative Teilmenge $S [mm] \subseteq [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
> Also da [mm]S^{-1}\IQ[/mm] = [mm]\IQ[/mm] = Quot [mm](\IQ)[/mm] und somit [mm]S^{-1}\IQ[/mm]
> Körper, da S [mm]\subseteq \IQ -\{0\}[/mm]
Wenn du das hier besser aufschreiben wuerdest waer es richtig.
LG Felix
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