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Ring eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Do 02.02.2012
Autor: lisa2802

Aufgabe
Zeigen sie nur mit Hilfe seiner definierenden Eigenschaften, dass ein Ring(R,+,*) mit Einselement 1=0 notwendig einelementig ist. Begründen sie jeden Rechenschritt!

Unsere Definition :
Eine Menge [mm] R\not=\emptyset [/mm] mit zwei (inneren) Verknüpfungen

+ : R x R [mm] \to [/mm] R   und
* : R x R [mm] \to [/mm] R   heißt Ring, falls
(R1) (R,+) ist abelsche Gruppe
(R2) (R,*) ist eine Halbgruppe
(R3) (R,+,*) erfüllt die Distributivgesetze d.h. für alle a,b,c,d [mm] \in [/mm] R gilt
(D1) a(b+c)=ab+ac
(D2) (a+b)c=ac+bc



So jetzt zu meiner Frage und zu der Aufgabe :

ich nehme ein beliebiges r [mm] \in [/mm] R(+,*)
r*0 = r* (0+0) = r*0 + r*0    | - (r*0)  ((D1),(R1), Nullelement = 0 = 0+0 )
r*0-r*0=r*0+r*0-r*0
0=r*0
0=r

Da 0=1
r=r*1=r*0=0

[mm] \Rightarrow [/mm] 0 ist das einzige Element in r, da das neutrale Element der Addition gleich dem neutralem Element der Multiplikation ist


so und jetzt die frage: geht das so? ist das formal richtig? ist das überhaupt richtig?


Danke!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ring eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Fr 03.02.2012
Autor: angela.h.b.


> Zeigen sie nur mit Hilfe seiner definierenden
> Eigenschaften, dass ein Ring(R,+,*) mit Einselement 1=0
> notwendig einelementig ist. Begründen sie jeden
> Rechenschritt!
>  Unsere Definition :
>  Eine Menge [mm]R\not=\emptyset[/mm] mit zwei (inneren)
> Verknüpfungen
>  
> + : R x R [mm]\to[/mm] R   und
>  * : R x R [mm]\to[/mm] R   heißt Ring, falls
>  (R1) (R,+) ist abelsche Gruppe
>  (R2) (R,*) ist eine Halbgruppe
>  (R3) (R,+,*) erfüllt die Distributivgesetze d.h. für
> alle a,b,c,d [mm]\in[/mm] R gilt
>  (D1) a(b+c)=ab+ac
>  (D2) (a+b)c=ac+bc
>  
>
>
> So jetzt zu meiner Frage und zu der Aufgabe :

Hallo,

[willkommenmr].

>  
> ich nehme ein beliebiges r [mm]\in[/mm] R(+,*)
>  r*0 = r* (0+0) = r*0 + r*0    | - (r*0)  ((D1),(R1), Nullelement = 0 = 0+0 )

Hier würde ich lieber schreiben +(-r*0), denn eine Subtraktion kommt in den Ringaxiomen nicht vor.

Ich würde dann genau aufschreiben

r*0+(-r*0)=(r*0+r*0)*+(-r*0)

und dann kleinschrittig weiterargumentieren.

>
>  r*0-r*0=r*0+r*0-r*0
>  0=r*0

Genau.

>  0=r

Was soll das? r=0 folgt keinesfalls aus r*0=0.

>  
> Da

nach Voraussetzung gilt

> 0=1,

ist

>  r=r*1=r*0=0
>  

Also ist

> 0 ist das einzige Element in r,da

sofern

> das neutrale
> Element der Addition gleich dem neutralem Element der
> Multiplikation ist

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Ring eigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Fr 03.02.2012
Autor: lisa2802

Danke :)

gruß lisa2802

Bezug
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