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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Fr 12.05.2006 | | Autor: | mati |
| Aufgabe 1 | | Sei R die Potenzmenge von M, + die Vereinigung und * der Durchschnitt. Welche Ringaxiome gelten? |
| Aufgabe 2 | | Zeige: Sind R1 und R2 Ringe, so ist auf R1 xR2 ein Ring definiert, wenn die Operationen komponentenweise durchgeführt werden. Welche Eigenschaften von R1, R2 gelten auch in R1 x R2? |
Frage1: Ich weiss nicht, was ich damit anfangen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Frage2: Muss ich zuerst die Ringkriterien überprüfen? Was bedeutet "Komponenetenweise durchgeführt werden"?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 12.05.2006 | | Autor: | martzo |
Hi Mati,
> Sei R die Potenzmenge von M, + die Vereinigung und * der
> Durchschnitt. Welche Ringaxiome gelten?
> Zeige: Sind R1 und R2 Ringe, so ist auf R1 xR2 ein Ring
> definiert, wenn die Operationen komponentenweise
> durchgeführt werden. Welche Eigenschaften von R1, R2 gelten
> auch in R1 x R2?
> Frage1: Ich weiss nicht, was ich damit anfangen soll.
R ist eine Menge, deren Elemente Mengen sind. R soll zu einem Ring gemacht werden. Deshalb musst du Operationen einführen. Die übliche Operation "Vereinigung von Mengen" nennst du einfach mal "+". Die Operation "Schnitt von Mengen" nennst du einfach mal "*". Jetzt musst du prüfen, ob die Operationen korrekt definiert sind, d.h. du musst überlegen, ob A+B und A*B auch tatsächlich wieder Elemente aus R sind. Das ist eigentlich sofort klar, aber warum? Als zweiten Schritt musst du einfach die Ringaxiome überprüfen.
>
> Frage2: Muss ich zuerst die Ringkriterien überprüfen? Was
> bedeutet "Komponenetenweise durchgeführt werden"?
Nenn die Operationen auf [mm] R_1 [/mm] mal [mm]+_1[/mm] und [mm]*_1[/mm], und die auf [mm] R_2 [/mm] mal [mm]+_2[/mm] und [mm]*_2[/mm]. Auf [mm] R_1\times R_2 [/mm] willst du jetzt Operationen "+" und "*" definieren, die von denen auf [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] komponentenweise induziert werden. Das machst du so: Wenn c ein Element von [mm] R_1\times R_2 [/mm] so besitzt es die eindeutige Darstellung [mm] c=(c_1,c_2) [/mm] mit [mm] c_1\in R_1 [/mm] und [mm] c_2 \in R_2. [/mm] Das gleiche für ein d aus [mm] R_1\times R_2. [/mm] Definiere [mm] c+d=(c_1+d_1,c_2+d_2). [/mm] Analog für "*". Jetzt musst du die Ringaxiome prüfen.
Gruß,
Martzo
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