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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 05.11.2007 | | Autor: | H8U |
Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen mit den angegebenen Verknüpfungen Ringe sind, und wenn ja, ob sie kommutativ sind.
(a) [mm] \IN ,\IN_0 ,\IN \cup{0} ,3\IZ [/mm] mit der üblichen Addition und Multiplikation.
(b) A = {f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] : f(x) = 0 für alle x [mm] \ge [/mm] a} mit punktweiser Addition und Multiplikation von Funktionen.
(D.h. (f + g)(x) = f(x) + g(x) für alle x [mm] \in \IR)
[/mm]
(c) M = [mm] \begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} ; a,c \in \IC, b \in \IR \end{Bmatrix}
[/mm]
Übrigens is bei (b) über jedem + ein Pünktchen. Ich weiß gar nicht, was das bedeuten soll.
Danke für eure Hilfe zu dieser Aufgabe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen mit den
> angegebenen Verknüpfungen Ringe sind, und wenn ja, ob sie
> kommutativ sind.
>
> (a) [mm]\IN ,\IN_0 ,\IN \cup{0} ,3\IZ[/mm] mit der üblichen
> Addition und Multiplikation.
hast du angefangen die ringaxiome zu prüfen? gibt es zum beispiel in [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] ein additiv neutrales element, das heißt ein $e [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $n + e = n$ für $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] (setze zum beispiel $n = 1$). probiere doch mal wie weit du damit kommst und zeige dann deine rechnungen.
> (c) M = [mm]\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} ; a,c \in \IC, b \in \IR \end{Bmatrix}[/mm]
gilt stets $AB [mm] \in [/mm] M$ für $A, B [mm] \in [/mm] M$? kann $M$ dann ein ring sein?
> Übrigens is bei (b) über jedem + ein Pünktchen. Ich weiß
> gar nicht, was das bedeuten soll.
ich vermute nur über dem linken "$+$" steht ein punkt, also etwa $(f [mm] \dot{+} [/mm] g)(x) = f(x) + g(x)$. das soll wohl die addition von funktionen - wie sie links steht und hier erst definiert wird - von der addition reeller zahlen - wie sie rechts zur definition verwendet wird - unterscheiden.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 09.11.2007 | | Autor: | quest |
hallo.
[mm] $\mathbb{N}_0$ [/mm] ist ein kommutativer Ring, würde ich mal sagen.
Zu [mm] $3\mathbb{Z}$ [/mm] würde ich sagen, dass das kein Ring ist, da es kein multiplikativ neutrales Element gibt.
b) weiß ich auch nicht so recht. Die Menge:
$$ A = [mm] \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} | \exists a \in \IR: f(x) = 0 \forall x \geq a \}$$ [/mm] mit "punktweiser" Addition/ Multiplikation -- was will das heißen?
$$(f [mm] \dot{+} [/mm] g)(x) = f(x) [mm] \dot{+} [/mm] g(x)$$
Das sieht irgendwie so "künstlich" aus, also eine solche Funktion in A wäre ja etwa die Abbildung:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 0, & x \geq a \\ a-x, & x < a \end{cases}$$, [/mm] obwohl...nein, das Bild ist ja nicht [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] bei dem Beispiel.
Irgendwie scheint es schon plausibel, aber wie soll ich denn da die Ringeigenschaften zeigen? Bzw. was wäre in dem Fall das neutrale Element bzgl. der Multiplikation?
Hat mir jemand ein Tip?
Grüße und dank!
Quest
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm]\mathbb{N}_0[/mm] ist ein kommutativer Ring, würde ich mal
> sagen.
warum? ist dies überhaupt eine abelsche gruppe bezüglich der addition?
> Zu [mm]3\mathbb{Z}[/mm] würde ich sagen, dass das kein Ring ist, da
> es kein multiplikativ neutrales Element gibt.
wenn das bei euch gefordert ist, dass es stets ein multiplikativ neutrales element ist, dann stimmt's. 
> b) weiß ich auch nicht so recht. Die Menge:
> [mm]A = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} | \exists a \in \IR: f(x) = 0 \forall x \geq a \}[/mm]
> mit "punktweiser" Addition/ Multiplikation -- was will das
> heißen?
> [mm](f \dot{+} g)(x) = f(x) \dot{+} g(x)[/mm]
das was dasteht. was verstehst du daran nicht? links steht die definition, wie man funktionen zu addieren hat, rechts die bekannte multiplikation reeller zahlen.
> Das sieht irgendwie so "künstlich" aus, also eine solche
> Funktion in A wäre ja etwa die Abbildung:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & x \geq a \\ a-x, & x < a \end{cases}[/mm],
> obwohl...nein, das Bild ist ja nicht [mm]$\mathbb{R}$[/mm] bei dem
> Beispiel.
das wird auch nirgends gefordert, dass die funktionen surjektiv sein müssen. also hast du ein beispiel für solch eine funktion angegeben.
> Irgendwie scheint es schon plausibel, aber wie soll ich
> denn da die Ringeigenschaften zeigen? Bzw. was wäre in dem
> Fall das neutrale Element bzgl. der Multiplikation?
das ist eine sehr gute idee mal danach zu suchen, wie das aussehen müsste, wenn es denn eines gäbe und dann zu schauen, ob das in der menge liegt.
grüße
andreas
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