Ringe,\IZ[\sqrt{d}] < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei d [mm] \in \IZ [/mm] ohne 0,1 quadratfrei.
Beweisen Sie, dass [mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] ein kommmutativer Ring mit 1 ist. |
Hallo
[mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] = [mm] \{ a + b \sqrt{d} :a,b \in \IZ \} [/mm] versehen mit Addition und Multplikation auf [mm] \IZ.
[/mm]
ZZ.: [mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] Unterring von [mm] \IZ
[/mm]
-) x-y = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] b_1 \sqrt{d}) [/mm] - [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2 \sqrt{d})=(a_1 [/mm] - [mm] a_2) [/mm] + [mm] (b_1-b_2) \sqrt{d} \in \IZ[\sqrt{d}] [/mm] , [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IZ[\sqrt{d}]
[/mm]
-) [mm] x*y=(a_1 [/mm] + [mm] b_1 \sqrt{d}) [/mm] * [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2 \sqrt{d})= a_1 a_2 [/mm] + [mm] b_1 b_2 [/mm] d + [mm] \sqrt{d}*(a_1b_2+b_1a_2) \in \IZ[\sqrt{d}],\forall [/mm] x,y [mm] \in \IZ[\sqrt{d}]
[/mm]
SOmit ist doch nur gezeigt, dass [mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] ein Ring ist. Oder habe ich damit Kommuttaivität und 1-Element auch gezeigt, weil beides ja [mm] \IZ [/mm] besitzt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 13.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei d [mm]\in \IZ[/mm] ohne 0,1 quadratfrei.
> Beweisen Sie, dass [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] ein kommmutativer Ring
> mit 1 ist.
>
> Hallo
> [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] = [mm]\{ a + b \sqrt{d} :a,b \in \IZ \}[/mm] versehen
> mit Addition und Multplikation auf [mm]\IZ.[/mm]
Es ist allerdings kein Unterring von [mm] $\IZ$, [/mm] da es nichtmals eine Teilmenge ist. Das Element [mm] $\sqrt{d}$ [/mm] liegt in [mm] $\IC \setminus \IQ$.
[/mm]
> ZZ.: [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] Unterring von [mm]\IZ[/mm]
>  x-y = [mm](a_1[/mm] + [mm]b_1 \sqrt{d})[/mm] - [mm](a_2[/mm] + [mm]b_2 \sqrt{d})=(a_1[/mm]
> - [mm]a_2)[/mm] + [mm](b_1-b_2) \sqrt{d} \in \IZ[\sqrt{d}][/mm] , [mm]\forall[/mm] x,y
> [mm]\in \IZ[\sqrt{d}][/mm]
Nun, du solltest schon sagen, dass $x = [mm] a_1 [/mm] + [mm] b_1 \sqrt{d}$ [/mm] und $y = [mm] a_2 [/mm] + [mm] b_2 \sqrt{d}$ [/mm] sein soll.
> -) [mm]x*y=(a_1[/mm] + [mm]b_1 \sqrt{d})[/mm] * [mm](a_2[/mm] + [mm]b_2 \sqrt{d})= a_1 a_2[/mm]
> + [mm]b_1 b_2[/mm] d + [mm]\sqrt{d}*(a_1b_2+b_1a_2) \in \IZ[\sqrt{d}],\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IZ[\sqrt{d}][/mm]
Du hast bisher gezeigt, dass der Ring unter Subtraktion und Muliplikation abgeschlossen ist. Was fehlt noch?
> SOmit ist doch nur gezeigt, dass [mm]\IZ[\sqrt{d}][/mm] ein Ring
> ist. Oder habe ich damit Kommuttaivität und 1-Element auch
> gezeigt, weil beides ja [mm]\IZ[/mm] besitzt?
Du musst noch zeigen, dass 1 drinnen liegt.
(Und mit [mm] $\IC$ [/mm] anstelle [mm] $\IZ$ [/mm] argumentieren.)
LG Felix
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Hallo.
> $ [mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] $ = $ [mm] \{ a + b \sqrt{d} :a,b \in \IZ \} [/mm] $ versehen mit Addition und Multplikation auf $ [mm] \IZ. [/mm] $
Aber das stimmt so ausgedrückt?
Also man muss zeigen dass $ [mm] \IZ[\sqrt{d}] [/mm] $ = $ [mm] \{ a + b \sqrt{d} :a,b \in \IZ \} [/mm] $ ein Unterring vom [mm] \IC [/mm] ist?
> Du hast bisher gezeigt, dass der Ring unter Subtraktion und Muliplikation abgeschlossen ist. Was fehlt noch?
Wir hatten nur die zwei kriterien für einen Unterring. Meinst du dass [mm] \IZ[\sqrt{d}] \not= \emptyset?
[/mm]
wähle ich b=0 so sind [mm] \IZ \subseteq \IZ[\sqrt{d}] [/mm]
> Du musst noch zeigen, dass 1 drinnen liegt.
Wähle als Einselemnt 1+0 [mm] \sqrt{d}:
[/mm]
(a+b [mm] \sqrt{d})*(1+0 \sqrt{d})= [/mm] (a+b [mm] \sqrt{d})
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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