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Huhu, ich mal wieder, ich hab anfangs nur ne idee, aber keinen ansatz, hoffe man kann mir ansatzweise helfen.
Wir betrachten eine Teilmenge
[mm] $\IZ[i] [/mm] = [mm] \{z = a +ib \in \IC | a,b \in \IZ\}$
[/mm]
1.
Man zeige das [mm] \IZ[i] [/mm] ein Unterring von [mm] \IC [/mm] ist. Man nennt [mm] \IZ[i] [/mm] den Ring der gauss'schen Zahlen.
2.
Man zeige, dass man eine Zahl [mm] $n\in \IN$ [/mm] genau dann als Summe von zwei Quadraten n = [mm] a^2 +b^2 [/mm] schreiben kann, wenn es eine Darstellung n =
3. Man zeige, dass z [mm] \in \IZ[i] [/mm] eine einheit genau dann, wenn |z| =1 ist. gib alle Einheiten an!
zu 1.
So, ansich ist klar wie man [mm] z\overline{z} [/mm] mit z [mm] \in \IZ[i] [/mm] zeigt.
die kategorien sind:
- [mm] 0\in \IZ[i]
[/mm]
- x,y [mm] \in \IZ[i] \rightarrow x+y\in \IZ[i]
[/mm]
- aus [mm] x\in \IZ[i] \rightarrow -x\in \IZ[i]
[/mm]
Hilft mir das mit den Gauss'schen Zahlen weiter, oder ists nen weg die sachen leichter zu lösen? (PS. was sind gauss'schen zahlen, hab die nirgens gefunden)
zu 2. keine idee, weiß da keinen ansatz, bitte um ne idee oder nen ansatz für mich.
zu 3.
War in der vorlesung nicht da habs nachgearbeitet aber noch nicht dahintergekommen was die einheit ist und wie man diese ermittelt.
Hoffe das sind genug ansätze oder konkrete fragen.
Mit Freundlichen Grüßen,
SLA
PS: bleib noch lange online heute und morgen um mich mit den aufgaben zu befassen.
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Gruß!
Also 1) sieht gut aus, Du hast nur immer das [mm] $\IZ$ [/mm] da vergessen... aber der Teil ist ja auch nicht schwer.
Was Dir noch fehlt ist die Abgeschlossenheit bzgl. der Mulitplikation... also für $x,y [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] mußt Du zeigen: $x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \in \IZ[i]$.
[/mm]
Bei 2) fehlt der entscheidende Satz... daher kann ich da nichts zu sagen. 
Zu 3): Eine Element $a [mm] \in [/mm] R$ eines Ringes $R$ heißt Einheit, falls es multiplikativ invertierbar ist - das heißt, falls es ein [mm] $a^{-1} \in [/mm] R$ gibt mit $a [mm] \cdot a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} \cdot [/mm] a = [mm] 1_R$.
[/mm]
Zum Beispiel sind die Einheiten in [mm] $\IZ$ [/mm] gerade 1 und -1.
In einem Körper sind alle Elemente ungleich 0 Einheiten.
Im Ring der Matrizen über einem Körper sind die Einheiten gerade die Matrizen mit von 0 verschiedener Determinante.
Usw.
Das heißt, Du mußt zeigen: $z [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] ist invertierbar genau dann falls $|z| = 1$.
Du weißt ja, dass jede komplexe Zahl ungleich 0 invertierbar ist und sicher auch, wie das Inverse aussieht - kannst Du zeigen, dass dieses Inverse genau dann in dem Unterring liegt, wenn diese Bedingung erfüllt ist...?
Zur Kontrolle: Du müßtest genau 4 Einheiten in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] finden.
Viel Erfolg!
Lars
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Hallo,
da SystemLordAnubis noch nicht wieder geantwortet hat, versuche ich mich mal hier an einer Lösung von 3).
Zu zeigen: [mm]z\in\IZ\left[i\right][/mm] ist Einheit [mm]\gdw[/mm] |z| = 1
"[mm]\Leftarrow[/mm]":
Sei [mm]z\in\IZ\left[i\right][/mm], |z|=1. Dann ist [mm]1=|z|=|z|^2=z*\overline{z}[/mm], d.h. es gibt ein [mm]z^{-1}\in\IZ\left[i\right][/mm] mit [mm]z*z^{-1}=1[/mm]. Also ist z Einheit.
"[mm]\Rightarrow[/mm]":
Sei [mm]z\in\IZ\left[i\right][/mm] Einheit. Nehme an, dass [mm]|z|\not=1[/mm], d.h. [mm]\wurzel{a^2+b^2}\not=1\; \Rightarrow\;a^2+b^2\not=1[/mm].
Es ist [mm]z^{-1}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2}=\bruch{a}{a^2+b^2}-\bruch{b}{a^2+b^2}*i \;\;\left(a,b\in\IZ\right)[/mm].
Soweit, so gut. Erste Frage: Ist das bis hierhin korrekt? 
Nun habe ich drei Fälle unterschieden: a=0, |a|=1, |a|>1 und gezeigt, dass immer mind. einer der beiden Brüche (unter der Annahme [mm]|z|\not=1[/mm]) nicht in [mm]\IZ[/mm] liegen kann (das möchte ich jetzt hier nicht alles aufschreiben). Mir kommt das relativ lang und umständlich vor - übersehe ich irgendeinen einfacheren Weg, oder muss man das wirklich alles so ausführlich hinschreiben?
Gruß,
- Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Aus
[mm] $\frac{a}{a^2 + b^2} \in \IZ$ [/mm]
folgt doch:
[ $a=0$ oder ($b=0$ und $|a|=1$) ]
und
[ $b=0$ oder ($a=0$ und $|b|=1$) ] .
Da der Fall $a=0=b$ ausgescglossen werden kann, folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Anubis,
da ich ja auch im Besitz des Aufgabenzettels bin, werde ich auf die Teilaufgabe 2 eingehen, die in deinem Artikel irgendwie nicht vollständig enthalten ist.
Du sollst also zeigen, dass für [mm]n\in\IN[/mm] eine Darstellung [mm]n=a^2+b^2[/mm] existiert, genau dann, wenn es eine Darstellung [mm]n=z*\overline{z}[/mm] mit [mm]z\in\IZ\left[i\right][/mm] gibt.
Na, aber wenn wir z jetzt mal als z=a+bi schreiben, was steht denn dann da?
[mm]z*\overline{z} = (a+bi)(a-bi)[/mm]
Das musst du jetzt wirklich eigentlich nur mal ausrechnen ...
Gruß,
- Marcel
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2.
Man zeige, dass man eine Zahl [mm] n\IN \IN [/mm] genau dann als Summe von zwei Quadraten n = [mm] a^2 +b^2 [/mm] schreiben kann, wenn es eine Darstellung
n = [mm] z\overline{z} [/mm] mit z [mm] \in \IZ[i] [/mm] gibt.
mal komplettiert die 2.
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