Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 16.04.2011 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Seien R,S, T Ringe, f: R [mm] \to [/mm] S bzw. g: S [mm] \to [/mm] T Ringhomomorphismen und [mm] \delta [/mm] : [mm] R\to [/mm] S ein Ringhomomorphismus. Zeigen sie dass die folgenden Abbgildungen ebenfalls Ringhomomorphismen sind:
a) id: R [mm] \to [/mm] R
b) [mm] \beta [/mm] := g [mm] \circ [/mm] f : R [mm] \to [/mm] T
c) [mm] \delta^{-1} [/mm] : S [mm] \to [/mm] R |
ich habe leider Probleme mir der aufgabe b) da weiß ich nicht recht wie ich mit der verküpfung umgehen soll... kann mir da jemand helfen?
bei uns wird jetzt stark auf die Form geachtet, deswegen meine Frage, könnte jemand meine Antwort sowohl auf Richtigkeit als auch auf Form überprüfen ?
also meine Antworten:
a) i) id(1) = 1 , gilt denn eins geht auf eins
ii) id (xy) = xy = id (x) id(y)
iii) id (x+y) = x+y = id (x) + id (y)
Somit gilt, dass a) ein ringhomomorphismus ist
b) ???? vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.,,
c)i) [mm] \delta^{-1} [/mm] = [mm] \delta^{-1} (\delta [/mm] (1)) = 1
ii) [mm] \delta^{-1} [/mm] (xy) = [mm] \delta^{-1} [/mm] (x) * [mm] \delta^{-1} [/mm] (y)
[mm] \gdw \delta (\delta^{-1} [/mm] (xy)) [mm] =\delta (\delta^{-1} [/mm] (x) * [mm] \delta^{-1} [/mm] (y))
[mm] \gdw [/mm] xy= xy
iii) [mm] \delta^{-1} [/mm] (x+y) = [mm] \delta^{-1} [/mm] (x) + [mm] \delta^{-1} [/mm] (y)
[mm] \gdw \delta (\delta^{-1} [/mm] (x+y) [mm] =\delta (\delta [/mm] (-1) (x) + [mm] \delta^{-1} [/mm] (y))
[mm] \gdw \delta(\delta^{-1} [/mm] (x+y) [mm] =\delta(\delta^{-1} (x))+\delta(\delta^{-1} [/mm] (y))
[mm] \gdw [/mm] xy= xy
Vielen dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Sa 16.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Seien R,S, T Ringe, f: R [mm]\to[/mm] S bzw. g: S [mm]\to[/mm] T
> Ringhomomorphismen und [mm]\delta[/mm] : [mm]R\to[/mm] S ein
> Ringhomomorphismus. Zeigen sie dass die folgenden
> Abbgildungen ebenfalls Ringhomomorphismen sind:
> a) id: R [mm]\to[/mm] R
> b) [mm]\beta[/mm] := g [mm]\circ[/mm] f : R [mm]\to[/mm] T
> c) [mm]\delta^{-1}[/mm] : S [mm]\to[/mm] R
Sicher, dass $ [mm] \delta$ [/mm] nicht ein Isomorphismus sein muss, sonst gilt die Aussage c) nämlich im allgemeinen nicht, da eine Umkehrabbildung gar nicht wohldefiniert ist.
>
> bei uns wird jetzt stark auf die Form geachtet, deswegen
> meine Frage, könnte jemand meine Antwort sowohl auf
> Richtigkeit als auch auf Form überprüfen ?
>
> also meine Antworten:
>
> a) i) id(1) = 1 , gilt denn eins geht auf eins
> ii) id (xy) = xy = id (x) id(y)
> iii) id (x+y) = x+y = id (x) + id (y)
>
> Somit gilt, dass a) ein ringhomomorphismus ist
Vollkommen korrekt.
> b) ???? vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.,,
Seien $x,y [mm] \in [/mm] R$:
(i) [mm](g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1 [/mm]
(ii) $(g [mm] \circ [/mm] f)(xy)=g(f(xy)) = g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(g [mm] \circ [/mm] f)(x)(g [mm] \circ [/mm] f)(y)$
(iii) analog
Du verwendest also einfach die Homomorphismeneigenschaften von f und g.
> c)
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass [mm] $\delta$ [/mm] Ringisomorphismus ist.
i) [mm]\delta^{-1}[/mm] = [mm]\delta^{-1} (\delta[/mm] (1)) = 1
Genau.
> ii) [mm]\delta^{-1}(1)[/mm] (xy) = [mm]\delta^{-1}[/mm] (x) * [mm]\delta^{-1}[/mm]
> (y)
> [mm]\gdw \delta (\delta^{-1}[/mm] (xy)) [mm]=\delta (\delta^{-1}[/mm] (x) *
> [mm]\delta^{-1}[/mm] (y))
> [mm]\gdw[/mm] xy= xy
Ja.
> iii) [mm]\delta^{-1}[/mm] (x+y) = [mm]\delta^{-1}[/mm] (x) + [mm]\delta^{-1}[/mm] (y)
> [mm]\gdw \delta (\delta^{-1}[/mm] (x+y) [mm]=\delta (\delta[/mm] (-1) (x) +
> [mm]\delta^{-1}[/mm] (y))
> [mm]\gdw \delta(\delta^{-1}[/mm] (x+y) [mm]=\delta(\delta^{-1} (x))+\delta(\delta^{-1}[/mm]
> (y))
> [mm]\gdw[/mm] xy= xy
In der letzten Zeile muss es natürlich $x+y=x+y$ heißen.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 16.04.2011 | | Autor: | julmarie |
danke :)
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