Ringisomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 So 22.02.2009 | | Autor: | slash |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass der Ring R isomorph ist zum Ring S aller zweireihigen quadratischen Matrizen [mm] \pmat{ a & -2b \\ b & a } [/mm] mit a, b [mm] \in \IZ.
[/mm]
R := {a + [mm] b\wurzel[2]{-2} [/mm] | a, b [mm] \in \IZ [/mm] } |
Keine Ahnung wie.
Hab schon raus, dass die Norm in R gleich der Determinanten in S ist.
Aber ansonsten k.A., wie ich da eine Isomorphie zeigen kann.
Danke, slash.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mo 23.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Aufgabe ist doch sehr suggestiv gestellt, der Isomorphismus wird ja sozusagen gleich mitgeliefert: [mm] $$\Phi:R\ni(a+b\sqrt{-2})\mapsto\pmat{a&-2b\\b&a}\in [/mm] S$$ Zeige, dass dies ein Homomorphismus von Ringen ist, der injektiv und surjektiv ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:36 Mo 23.02.2009 | | Autor: | slash |
... man macht's ja nicht zum ersten Mal. :)
Aber wie sieht denn Phi konkret aus, um die notwendigen Bedingungen für einen Ringhomomorphismus zu erfüllen?
Wie baue ich die Gleichheit von Norm in R und Determinante in S ein?
Das ist erstmal mein Problem.
Die Bijektivität wird sich daraus dann schon zeigen lassen.
Der Anfang hängt gewissermaßen.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mo 23.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich hab dir doch ganz konkret hingeschrieben was [mm] $\Phi$ [/mm] macht. Mit Determinante und Norm hat das überhaupt gar nix zu tun! Du musst zeigen, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist, d.h.
1) [mm] $\Phi(a+b)=\Phi(a)+\Phi(b)$ [/mm] und
2) [mm] $\Phi(ab)=\Phi(a)\Phi(b)$
[/mm]
für alle [mm] $a,b\in [/mm] R$. Wenn du das hast, zeige dass [mm] $\Phi$ [/mm] außerdem injektiv und surjektiv ist...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Mo 23.02.2009 | | Autor: | slash |
k ... hab ich.
Injektivität bekomme ich über den Kern des Homomorphismus hin.
Surjektivität hängt.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> k ... hab ich.
> Injektivität bekomme ich über den Kern des Homomorphismus
> hin.
> Surjektivität hängt.
Komisch !
Sei A = $ [mm] \pmat{ a & -2b \\ b & a } [/mm] $ aus S gegeben
Setze x = [mm] a+b\wurzel{-2}. [/mm] Dann: x [mm] \in [/mm] R und [mm] \Phi(x) [/mm] = A
FRED
>
> Danke.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mo 23.02.2009 | | Autor: | slash |
Danke.
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