Ringisomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:08 Di 06.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
Folgende Frage: Gibt es einen Ringisomorphismus von einem Ring R auf den zugehörigen Polynomring R[X] ?
Hatte erst gedacht, dass [mm] (a_{0},a_{1}, a_{2},...,0,...) \mapsto \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} x^{i} [/mm] ein solcher Isomorphismus wäre, aber wenn ich das richtig verstehe, definiert sich gerade der Polynomring über diese Folgen. Hat jemand vielleicht eine Idee ? Wir vermuten, dass es ansonsten wohl keinen geben wird.
Danke.
VG
Fry
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Ein Isomorphismus ist bijektiv.
für Endliche Ringe ist $|R|<|R[X]|$, kann es also keinen iso geben.
[mm](a_{0},a_{1}, a_{2},...,0,...) \mapsto \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} x^{i}[/mm]
ist ja keine Abbildung [mm] $R\to [/mm] R[X]$, sondern [mm] $R^{(\IN)}\to [/mm] R[X]$.
Für unendliche Ringe kommt mir gerade kein Argument in den Sinn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 07.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 08.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Folgende Frage: Gibt es einen Ringisomorphismus von einem
> Ring R auf den zugehörigen Polynomring R[X] ?
> Hatte erst gedacht, dass [mm](a_{0},a_{1}, a_{2},...,0,...) \mapsto \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} x^{i}[/mm]
> ein solcher Isomorphismus wäre, aber wenn ich das richtig
> verstehe, definiert sich gerade der Polynomring über diese
> Folgen. Hat jemand vielleicht eine Idee ? Wir vermuten,
> dass es ansonsten wohl keinen geben wird.
> Danke.
Im Allgemeinen geht das nicht, siehe leonhards Antwort. In Spezialfaellen geht es jedoch sehr wohl. Ist Beispielsweise $S$ irgendein Ring, so kann man $R$ als Polynomring in unendlich vielen Unbestimmten ueber $S$ waehlen. Dann gibt es einen Isomorphismus $R [mm] \cong [/mm] R[x]$ (sogar ein Isomorphismus von $S$-Algebren).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Do 08.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort !
LG Fry
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