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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Sa 14.06.2008 | | Autor: | norm |
| Aufgabe | Es seien A, B Mengen und f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) f ist injektiv.
(b) [mm] \forall C\subset [/mm] A gilt f^-1(f(C))=C.
(c) [mm] \forall C,D\subset [/mm] A mit [mm] C\cap D=\emptyset [/mm] gilt [mm] f(C)\cap f(D)=\emptyset [/mm] .
(d) [mm] \forall C,D\subset [/mm] A gilt: f(C \ D)=f(C) \ f(D). |
Hallo,
Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, dass ein Ringschluss das geeignetste sei. Und zwar von (a)->(b)->(c)->(d)->(a)
Von (a)->(b) habe ich:
Sei f: [mm] A\to [/mm] B [mm] injektiv\Rightarrow\exists [/mm] g: [mm] B\to [/mm] A für das gilt [mm] g\circ f=idA\Rightarrow f^-1\circ f=idA\Rightarrow f^-1\circ f(A)=idA\Rightarrow [/mm] f^-1(f(A))=idA. Mit [mm] C\subset A\Rightarrow [/mm] f^-1(f(C))=idC [mm] \forall C\subset A\Rightarrow [/mm] f^-1(f(C))=C [mm] \forall C\subset [/mm] A
Das dürfte in Ordnung sein oder?
Bei dem nächsten Schritt hänge ich:
(b) [mm] \Rightarrow [/mm] (c):
Es gilt f^-1(f(C))=C [mm] \forall C\subset [/mm] A
[mm] \Rightarrow\forall C,D\subset [/mm] A gilt f^-1(f(C))=C und f^-1(f(D))=D. Mit [mm] C\cap [/mm] D [mm] =\emptyset \Rightarrow f^-1(f(C))\cap f^-1(f(D))=\emptyset \Rightarrow f^-1\circ f(C)\cap f^-1\circ [/mm] f(D) [mm] =\emptyset.
[/mm]
Jetzt ist die Frage, wie ich das f^-1 loswerde.
Habt ihr einen Tipp für mich, wie ich von (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (c) weitermachen kann?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien A, B Mengen und f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Zeigen
> Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
> (a) f ist injektiv.
> (b) [mm]\forall C\subset[/mm] A gilt f^-1(f(C))=C.
> (c) [mm]\forall C,D\subset[/mm] A mit [mm]C\cap D=\emptyset[/mm] gilt
> [mm]f(C)\cap f(D)=\emptyset[/mm] .
> (d) [mm]\forall C,D\subset[/mm] A gilt: f(C \ D)=f(C) \ f(D).
> Hallo,
>
> Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, dass ein Ringschluss das
> geeignetste sei. Und zwar von (a)->(b)->(c)->(d)->(a)
>
> Von (a)->(b) habe ich:
>
> Sei f: [mm]A\to[/mm] B [mm]injektiv\Rightarrow\exists[/mm] g: [mm]B\to[/mm] A für das
> gilt [mm]g\circ f=idA\Rightarrow f^-1\circ f=idA\Rightarrow f^-1\circ f(A)=idA\Rightarrow[/mm]
> f^-1(f(A))=idA. Mit [mm]C\subset A\Rightarrow[/mm] f^-1(f(C))=idC
> [mm]\forall C\subset A\Rightarrow[/mm] f^-1(f(C))=C [mm]\forall C\subset[/mm]
> A
>
> Das dürfte in Ordnung sein oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das ist so nicht richtig.
Du mußt bedenken, daß [mm] f^{-1} [/mm] in zweierlei Bedeutungen verwendet wird.
Einmal als Umkehrfunktion von f, was man allerdings nur tun kann, wenn man weiß, daß f umkehrbar ist.
[mm] f^{-1}(M) [/mm] , M Menge, ist etwas anderes, nämlich das Urbild von M unter der Abbildung f.
Da überhaupt nicht die Rede davon ist, daß f umkehrbar ist, ist der Schritt
[mm] g\circ f=id_A \Rightarrow f^{-1}\circ f=id_A
[/mm]
falsch.
>
> Bei dem nächsten Schritt hänge ich:
> (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (c):
> Es gilt f^-1(f(C))=C [mm]\forall C\subset[/mm] A
> [mm]\Rightarrow\forall C,D\subset[/mm] A gilt f^-1(f(C))=C und
> f^-1(f(D))=D. Mit [mm]C\cap[/mm] D [mm]=\emptyset \Rightarrow f^-1(f(C))\cap f^-1(f(D))=\emptyset \Rightarrow f^-1\circ f(C)\cap f^-1\circ[/mm]
> f(D) [mm]=\emptyset.[/mm]
>
> Jetzt ist die Frage, wie ich das f^-1 loswerde.
Ich würde hier lieber einen Widerspruchsbeweis machen und nach Möglichkeit mit einzelnen Elementen arbeiten.
Nimm an, daß (b) gilt, und daß es Mengen C, D gibt mit [mm] C\cap D=\emptyset, [/mm] für die [mm] f(C)\cap [/mm] f(D) nichtleer ist.
Dann gibt es ein [mm] y\in f(C)\cap [/mm] f(D), und dies kannst Du zu einem Widerspruch zur Leere von [mm] C\cap [/mm] D führen.
Arbeite im Verlauf des Beweises mit einelementigen Mengen, z.B. mit [mm] \{y\}, [/mm] damit Du (b) verwenden kannst.
Gruß v. Angela
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