Risikozuschlag - Näherungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | In einem homogenen Versicherungsportfolio seien die zufälligen Schadenhöhen [mm] X_{k}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n, der n = 10000 Versicherungsnehmer unabhängig und identisch verteilt mit [mm] E(X_{k}) [/mm] = [mm] \mu [/mm] und [mm] Var(X_{k}) [/mm] = [mm] \sigma^2. [/mm] Das Versicherungsunternehmen verlangt als Nettoprämie B von jedem Versicherungsnehmer zusätzlich zur erwarteten Schadenhöhen [mm] E(X_{k}) [/mm] noch ein Vielfaches der Standardabweichung als Risikozuschlag, d.h. ein Versicherungsnehmer muss die Prämie B = [mm] \mu [/mm] + [mm] \alpha\sigma [/mm] für ein [mm] \alpha> [/mm] 0 zahlen. Berechnen Sie einen (möglichst kleinen) Näherungswert für [mm] \alpha , [/mm] so dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Versicherungsunternehmen für alle Versicherungsschäden in der Summe mehr ausgeben muss, als es in der Summe an Prämien einnimmt, nicht mehr als 0.01 beträgt! |
Hallo,
wir sind durch einen mehrere Jahre alten Forum-Beitrag in einem anderen Forum bereits auf dem richtigen Weg und brauchen ein wenig Hilfe für den Rest:
Wie sich aus dem Aufgabentext ergibt, suchen wir die folgende Wahrscheinlichkeit:
P{ [mm] \summe_{k=1}^{10000} X_{k} \ge \summe_{k=1}^{10000} E(X_{k}) [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{Var(X_{k})} [/mm] } [mm] \le [/mm] 0,01
Dies wurde dann von einem User folgendermaßen umgeformt:
[mm] \summe_{k=1}^{10000} E(X_{k}) [/mm] wurde auf die linke Seite der Ungleichung gezogen und beide Seiten durch [mm] \wurzel(\summe_{k=1}^{10000}Var(X_{k})) [/mm] geteilt (wir gehen davon aus, dass durch [mm] \wurzel(\summe_{k=1}^{10000}Var(X_{k})) [/mm] geteilt wurde, damit später [mm] \Phi [/mm] genutzt werden kann...sind uns da aber nicht so sicher):
= P( [mm] \bruch{(\summe_{k=1}^{10000} X_{k} - \summe_{k=1}^{10000} E(X_{k}) )}{\wurzel{\summe_{k=1}^{10000}Var(X_{k})}} \ge \alpha [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{Var(X_{k})}}{\wurzel{\summe_{k=1}^{10000}Var(X_{k})}} [/mm] )
Da nach einem möglichst kleinen Näherungswert gesucht wird, fällt die linke Seite der Ungleichung weg und es bleibt
[mm] \approx [/mm] 1 - [mm] \Phi (\alpha [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{Var(X_{k})}}{\wurzel{\summe_{k=1}^{10000}Var(X_{k})}} [/mm] )
= 0,01
übrig.
Daraus soll folgen, dass [mm] \alpha [/mm] gleich [mm] \Phi^{-1} [/mm] (...) ist. Also die Umkehrfunktion von [mm] \Phi [/mm] von der oberen nach a umgestellten Formel. Und genau hier hängen wir jetzt leider fest, da wir nicht wissen wie wir an die Umformung gehen sollen.
Wir bitten die fehlenden großen Klammern zu entschuldigen (wie macht man die?) und bedanken uns vorab für jegliche Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 So 23.06.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm] P\left( \summe_{k=1}^{10000} X_{k} \ge \summe_{k=1}^{10000} E(X_{k}) + \alpha * \wurzel{Var(X_{k})} \right)\le [/mm] 0,01
Wahrscheinlich sollte doch gelten [mm] P\left( \summe_{k=1}^{10000} X_{k} \ge \summe_{k=1}^{10000} \left[E(X_{k}) + \alpha * \wurzel{Var(X_{k})}\right]\right) \le [/mm] 0,01
Ich hätte ab hier wie folgt weiter gerechnet:
Mit N=10000, [mm] E(X_{k})=\mu [/mm] und [mm] \wurzel{Var(X_{k})}=\sigma [/mm] gilt also
[mm] P\left( \summe_{k=1}^{N} X_{k} \ge \summe_{k=1}^{N} \left[\mu + \alpha*\sigma \right] \right) \le [/mm] 0,01 also
[mm] P\left( \bruch{1}{N}\summe_{k=1}^{N} X_{k} \ge \mu + \alpha*\sigma\right)\le [/mm] 0,01
[mm] Z=\bruch{1}{N}\summe_{k=1}^{N} X_{k} [/mm] besitzt den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und die Varianz [mm] \bruch{\sigma^2}{N}
[/mm]
d.h. man mus folgende Gleichung für [mm] \alpha [/mm] lösen
[mm] 1-\Phi\left(\alpha\wurzel{N}\right)=0.01, [/mm] wenn man annimmt das die Grössen [mm] X_k [/mm] normalverteilt sind, was nach dem Zentralen Grenzwertsatz erlaubt ist.
|
|
|
| |
|
Hallo ullim,
danke für die schnelle Antwort!
Wir sind durch ein wenig rumprobieren auf den Wert 0,02329 für [mm] \alpha [/mm] gekommen. Damit würde sich
1 - [mm] \Phi(0.02329\wurzel{10000})
[/mm]
= 1 - 0,99007
= 0,00993
ergeben. Da 0,00993 [mm] \le [/mm] 0,01 sollte der Wert 0,02329 für [mm] \alpha [/mm] in Ordnung sein, oder sind wir mit [mm] \Phi [/mm] falsch umgegangen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 23.06.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Wert ist richtig, muss aber nicht durch probieren herausbekommen werden. Die Inverse [mm] \Phi [/mm] -Funktion ist ebenfalls tabelliert.
|
|
|
|
