Rollbewegung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Do 24.06.2010 | | Autor: | Georg222 |
| Aufgabe | Orginaltext:
A sold uniform disk of mass M and radius R gas attached to its dace a small mass m at a distance r from its center. The dis is free to roll without sliding along a horizontal line. Show that
T=0.5 * [mm] (d/dt(\theta))^2 [/mm] * [mm] (MR^2 [/mm] + I + [mm] mR^2 [/mm] - 2mrR [mm] cos(\theta) [/mm] + [mm] mr^2) [/mm]
were T denotes the kinetic energy, I is the moment of inertia of the dis about an axis perpendicular to its face through its center and [mm] \theta [/mm] is the angular displacement of the disk from its equilibrium position.
Übersetzung:
An einer gleichförmige dünne Scheibe mit Masse M und Radius R ist an der Vorderseite eine leine Punktmasse m im Abstand r vom Zentrum der Scheibe platziert. Die Scheibe rollt one zu gleiten entlang einer horizontalen geraden Linie. Zeige, dass die kinetische Energie T gegeben ist durch:
T=0.5 * [mm] (d/dt(\theta))^2 [/mm] * [mm] (MR^2 [/mm] + I + [mm] mR^2 [/mm] - 2mrR [mm] cos(\theta) [/mm] + [mm] mr^2) [/mm]
Dabei notiert I das Trägheitsmoment der Scheibe in Bezug auf eine zur Vorderseite der Scheibe orthogonale Achse durch ihren Mittelpunkt.
[mm] \theta [/mm] notiert den "Winkelausschlag" der Scheibe aus der Gleichgewichtslage. |
Hallo 
Ich habe eine Frage (s.o.)
Ich habe das Drehmoment berechnet
I_tot = I + 1/2 * m * [mm] r^2 [/mm] + [mm] m*R^2
[/mm]
(Parallele Achsen Theorem angewendet!)
Dann ergibt sich für die kinetische Energie
[mm] T=0.5*(d/dt(\theta))^2 [/mm] I_tot + 0.5 * (m+M) * [mm] R^2 [/mm] * [mm] (d/dt(\theta))^2
[/mm]
Ich sehe nicht wie dieser Cosinus-Term reinkommt bzw.
was ich da jetzt allgemein falsch mache?
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet!!
Vielen Dank schon mal im voraus!!
Gruss!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 24.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht das Drehmoment berechnet, sondern das Trägheitsmoment um den unteren Auflagepunkt.
die Kleine Masse muss doch jeweils um den Winkel [mm] \Theta [/mm] gehoben werden,d.h. die Scheibe bewegt sich nicht mit konstanter Winkelgeschw. oder Geschw, sondern "ruckweise? wemm m nach oben gehoben wird, wirs langsamer, wenns wieder nach unten geht schneller. mal die mal die Scheibe mit der zusatzmasse um nen Winkel nach oben auf, dann findest du deinen cos.
Gruss leduart
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Hm
Also für die Rollenergie erhalte ich
1/2 * (d/dt [mm] \theta)^2 [/mm] * [mm] (I+mr^2) [/mm]
Für die Translationsenergie ergibt sich
1/2 M [mm] R^2 [/mm] (d/dt [mm] \theta)^2 [/mm] + 1/2 m [mm] r^2 [/mm] (d/dt [mm] \theta)^2 [/mm]
Mir ist gerade nicht klar wieso da ein Cosinus-Term einfließen soll??
Außerdem: Für die Energie berechnet man für gewöhnlich schon
das Trägheitsmoment und nicht das Drehmoment.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Georg222 |
Okay. Ich habe das jetzt alles nochmal überarbeitet.
Komme aber immer noch nicht auf das richtige Ergebnis:
Zuerst berechne ich die kinetische Energie des zusammengesetzten Obekts:
Diese entspricht [mm] E_1 [/mm] = 0.5 * (m+M) * [mm] v_{Schwerpunkt} [/mm]
[mm] v_{Schwerpunkt} [/mm] = y * (d/dt [mm] \theta)^2 [/mm]
Dabei ist y der Abstand vom Aufsetzpunkt des Objekts am Boden und dem Schwerpunkt. Man berechnet y wie folgt:
Der Schwerpunkt befindet sich im Abstand x=(mr)/(M+m) vom Mittelpunkt des Rads. Dann ist [mm] y=R-x*cos(\theta) [/mm] wie man einer Skizze entnimmt.
Einsetzen und umformen liefert schließlich:
[mm] E_1 [/mm] = 0.5 (d/dt [mm] (\theta))^2 [/mm] * [mm] (m(R^2) [/mm] + [mm] M(R^2) [/mm] - [mm] 2mrRcos(\theta) [/mm] + [mm] [m^2 r^2 cos^2(\theta) [/mm] / (M+m) ] )
Was also noch stört ist der letzte Term.
Jetzt berechne ich die Rollenergie [mm] E_2 [/mm] :
Diese ist gegeben durch [mm] E_2 [/mm] = 1/2 [mm] I_{Schwerpunt} [/mm] (d/dt [mm] (\theta))^2 [/mm]
Wenn ich also das Trägheitsmoment bzgl. einer Achse durch den Schwerpunkt berechne bin ich fertig.
Das Trägheitsmoment des Massenmittelpunkts bzgl einer orthogonalen Achse durch den Mittelpunkt der Scheibe ist:
[mm] (I_{Scheibe_Zentrum} [/mm] + [mm] mr^2) [/mm] - [mm] (m+M)(x^2) [/mm] nach Steiner.
Dann erhält man aber mit [mm] E_1 [/mm] + [mm] E_2 [/mm] nicht den richtigen Wert.
Wo ist der Fehler??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 25.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Entschuldige, wenn ich Deines nicht nachrechne, aber ich gehe einfach die Terme durch:
T=0.5 * $ [mm] (d/dt(\theta))^2 [/mm] $ * $ [mm] (MR^2 [/mm] $ + I + $ [mm] mR^2 [/mm] $ - 2mrR $ [mm] cos(\theta) [/mm] $ + $ [mm] mr^2) [/mm] $
$ [mm] MR^2 [/mm] $: Translationsanteil der kinetischen Energie der Scheibe
I: Rotationsanteil der kinetischen Energie der Scheibe
$ [mm] mR^2 [/mm] $: Translationsanteil der kinetischen Energie des Massenpunkts
$ [mm] mr^2 [/mm] $: Rotationsanteil der kinetischen Energie des Massenpunkts
$ 2mrR $ [mm] cos(\theta) [/mm] $: potentielle Energie des Massenpunkts, die abgezogen wird.
(Damit das Energien werden steht natürlich noch das $ 0,5 [mm] \cdot (d/dt(\theta))^2 [/mm] $ davor.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 27.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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