Rose in Vase < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
(...)
äußere Begrenzungsfunktion:
[mm] f(x)=\bruch{-0.5x^2+50}{0.25x^2-4}
[/mm]
innere Begrenzungsfunktion:
[mm] g(x)=0.1x^4+4.4
[/mm]
e)
Eine einzelne (gerade) Rose soll so in die Vase gestellt werden, dass sie am Rand anlehnt und sich ein möglichst langer Teil des Stiels innerhalb der Vase befindet. In welcher Höhe berührt dann das Ende des Rosenstiels die Innenwand der Vase? Errechnen Sie die gesuchte Extremstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf drei Nachkommastellen genau.
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Ich dachte zuerst ich muss die Tangentengleichung an der Stelle x=30 der inneren Begrenzung bilden, aber dann ist mir bei GeoGebra eingefallen das die Rose dann gar nicht in der Vase ist. Momentan fehlt mir komplett der Ansatz. Wäre das mein Abi hätte ich mächtig versagt, maaaaaaan :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo, ich habe zunächst durch Gleichsetzen der Funktionen eine Schnittstelle berechnet, nennen wir diese Schnittstelle [mm] x_A, [/mm] dabei habe ich das Newtonverfahren benutzt, [mm] x_A=4,439836...., [/mm] daraus ergibt sich dann der Punkt [mm] A(x_A; g(x_A)),
[/mm]
die Rose berührt in einem Punkt [mm] B(x_B; g(x_B)) [/mm] den Grund der Vase, jetzt ist die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] zu maximieren, hier kannst du wunderbar Herrn Pythagoras benutzen
[mm] \overline{AB}^{2}=(x_A-x_B)^{2}+(g(x_A)-g(x_B))^{2}
[/mm]
[mm] \overline{AB}^{2}=(4,439836.....-x_B)^{2}+(43,256860-(0,1*(x_B)^{4}+4,4))^{2}
[/mm]
jetzt ist die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] zu maximieren, verwende erneut das Newtonverfahren,
[Dateianhang nicht öffentlich]
(die Rose kann natürlich auch nach links zeigen)
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielleicht war das nicht ganz deutlich aber die Vase ist bei 30 zu Ende, wir würd das dann funktionieren?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 09.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Vielleicht war das nicht ganz deutlich aber die Vase ist
> bei 30 zu Ende, wir würd das dann funktionieren?
>
> Vielen Dank!
ja natürlich.
die korrekte funktion lautet
[mm]rose(x)=(x-4)^2+(0,1x^4 -25,6)^2\to MAX[/mm]
zur kontrolle der "fußpunkt" [mm]P(0.776/4.436)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo weduwe, g(4)=30, also [mm] (x-4)^{2}....., [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 09.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe, g(4)=30, also [mm](x-4)^{2}.....,[/mm] Steffi
ich bin ganz deiner meinung
und [mm]30 -4.4 = 25.6[/mm] oder?
jetzt sehe ich erst meinen tippfehler,
klar x = 4 nicht 3.
ich habe auch damit gerechnet (hoffentlich  )
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> [mm]rose(x)=(x-4)^2+(0,1x^4 -25,6)^2\to MAX[/mm]
was denn nun? Müsste das nicht
[mm]rose(x)=(x-4)^2+(-0,1x^4+25,6)^2\to MAX[/mm]
heißen?
und könnte mir jemand sagen wieso [mm] \overline{BC} [/mm] = (x-4) und nicht z.B. [mm] \overline{BC} [/mm] = (4-x) ist, und wieso eigentlich x oder nicht 2x etc.? Die gleichen Fragen stell ich mir auch bei dem zweiten Teil. Hab es versucht zu verstehen aber es ist schwer sich das vorzustellen :)
Wäre sehr dankbar
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Hallo, berechne mal: [mm] (7-4)^{2} [/mm] bzw. [mm] (4-7)^{2} [/mm] oder [mm] (8-x)^{2} [/mm] bzw. [mm] (x-8)^{2} [/mm] was stellst du fest, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 10.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Es kommt immer das gleiche heraus. Die Frage hat sich geändert in der Zwischenzeit schau noch mal rein :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Di 10.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Du meinst also das es egal ist wo die $30$ steht.
Gut aber in deinem Beispiel müsste es richtig heißen $30-g(x)$ richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, naja sagen wir also lieber y=30, bleiben wir bei meinem Punkt A, berechne also [mm] 30=0,1(x_A)^{4}+4,4, [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 09.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Ich glaub ich versteh sogar was ihr da macht :) Könntest du das ggb File wenn es dir nichts ausmacht hochladen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, löse also die Klammern auf, bilde die 1. Ableitung
[mm] Rose'(x)=0,08x^{7}-20,48x^{3}+2x-8
[/mm]
jetzt die Nullstelle der 1. Ableitung mit dem Newtonverfahren bestimmen
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Newton
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Also ich hab eine andere Stelle heraus:
[mm] $f(x)=0.08*x^{7}-20.48*x^3+2*x-8$
[/mm]
$x=0,1$ $f(x)=-7,820479992$ $f'(x)=1,3856034838$
$x=5,7440966578$ $f(x)=12628,0399148819$ $f'(x)=18089,7298681278$
$x=5,0460187978$ $f(x)=4034,709288901$ $f'(x)=7682,0519249547$
$x=4,5208063509$ $f(x)=1196,2551528798$ $f'(x)=3526,922682795$
$x=4,1816281889$ $f(x)=291,4434676255$ $f'(x)=1921,7194354345$
$x=4,0299705316$ $f(x)=40,6863048653$ $f'(x)=1403,0009864996$
$x=4,0009710474$ $f(x)=1,2761044553$ $f'(x)=1315,5852821948$
$x=4,0000010575$ $f(x)=0,0013882472$ $f'(x)=1312,7211317965$
$x=4$ $f(x)=0$
Wenn die 4 stimmen würde, wäre dann die Wurzel davon die Lösung, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 10.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Also ich hab eine andere Stelle heraus:
>
> [mm]f(x)=0.08*x^{7}-20.48*x^3+2*x-8[/mm]
> [mm]x=0,1[/mm] [mm]f(x)=-7,820479992[/mm] [mm]f'(x)=1,3856034838[/mm]
> [mm]x=5,7440966578[/mm] [mm]f(x)=12628,0399148819[/mm]
> [mm]f'(x)=18089,7298681278[/mm]
> [mm]x=5,0460187978[/mm] [mm]f(x)=4034,709288901[/mm]
> [mm]f'(x)=7682,0519249547[/mm]
> [mm]x=4,5208063509[/mm] [mm]f(x)=1196,2551528798[/mm]
> [mm]f'(x)=3526,922682795[/mm]
> [mm]x=4,1816281889[/mm] [mm]f(x)=291,4434676255[/mm]
> [mm]f'(x)=1921,7194354345[/mm]
> [mm]x=4,0299705316[/mm] [mm]f(x)=40,6863048653[/mm]
> [mm]f'(x)=1403,0009864996[/mm]
> [mm]x=4,0009710474[/mm] [mm]f(x)=1,2761044553[/mm]
> [mm]f'(x)=1315,5852821948[/mm]
> [mm]x=4,0000010575[/mm] [mm]f(x)=0,0013882472[/mm]
> [mm]f'(x)=1312,7211317965[/mm]
> [mm]x=4[/mm] [mm]f(x)=0[/mm]
>
> Wenn die 4 stimmen würde, wäre dann die Wurzel davon die
> Lösung, richtig?
nein x = x
g(4) ist bekanntlich 30
du hast den falschen startwert gewählt, die gleichung hat bekanntlich mehrere lösungen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 10.03.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es gibt folgende Kontrollmöglichkeit:
im Punkt mit dem größten Abstand zum Vasenrand steht die Rose senkrecht zum Glas der Vase (und damit verläuft die Normale des entsprechenden Punktes durch den inneren Vasenrand.
Gruß Abakus
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jop Danke, das hab ich mir in der Zwischenzeit auch schon gedacht :)
Aber was mich interessiert ist jetzt noch wieso oder ob man die Wurzel davon nehmen muss schliesslich stand da immer [mm] \overline{AB}^2
[/mm]
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Hallo,
[mm] \overline{AB}^{2} [/mm] ist ja gestern durch die Anwendung vom Pythagoras entstanden, die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] ist zu maximieren, der größtmögliche Anteil der Rose in der Vase, wenn [mm] \overline{AB}^{2} [/mm] maximal wird, ist somit auch [mm] \overline{AB} [/mm] maximal, der Punkt B liegt an der Stelle [mm] x_b=-0,776 [/mm] (gerundet auf drei Dezimalstellen), der Punkt A liegt an der Stelle [mm] x_a=4, [/mm] berechne also noch den Abstand der Punkte A und B, die Länge der Rose, die in der Vase ist, dafür benötigst du wiederum [mm] g(x_b) [/mm] und [mm] g(x_a),
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Di 10.03.2009 | | Autor: | DrNetwork |
Vielen Dank an euch alle.
Und besonders Steffi die mir öfter über die Schulter schaut. :)
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