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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 08.11.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] e^{-kx} [/mm] k > 0
Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.
Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm] \pi [/mm] Volumeneinheiten beträgt?
Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird sie nie berühren....
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}} [/mm] dx
[mm] \infty [/mm] = b
f(x) = [mm] e^{-kx}
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] e^{-kx}
[/mm]
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] (e^{-bx} [/mm] -1)
[mm] e^{-bx} [/mm] --> geht gegen null
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * -1
Stimmt leider nicht
Vr = [mm] \bruch{\pi}{2k} [/mm] gemäss Lösungsresultat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 08.11.2011 | | Autor: | Kuriger |
Weitere Teilaufgabe dazu
Die Tangente an die Kurve y = [mm] -e^{-kx} [/mm] (k >) bei x = 0 schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)
y' = [mm] k*e^{-kx}
[/mm]
x = 0
m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)
Weiter komme ich leie rnicht
Sollte geben: VK:VR = 2:3
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Hallo Kuriger,
> Weitere Teilaufgabe dazu
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> Die Tangente an die Kurve y = [mm]-e^{-kx}[/mm] (k >) bei x = 0
> schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein
> Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x
> Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
> berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)
>
>
> y' = [mm]k*e^{-kx}[/mm]
> x = 0
> m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)
>
Für die Tangentengleichung setze so an:
[mm]y\left(0\right)=m*x+b[/mm]
[mm]y'\left(0\right)=m[/mm]
Löse dann dieses Geichungssystem
und Du erhältst die Werte für m und b.
> Weiter komme ich leie rnicht
>
> Sollte geben: VK:VR = 2:3
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 08.11.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die Rotationsformel um die x Achse anwenden?
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die
> Rotationsformel um die x Achse anwenden?
>
Zuerst musst Du die Schnittpunkte dieser Tangentengleichung
mit den Koordinatenachsen bestimmen. Dann kannst Du die
Rotationsformel um die x-Achse anwenden.
> Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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Hallo Kuriger,
> Hallo
>
>
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm] k > 0
>
> Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und
> Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein
> Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.
>
> Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche
> speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm]\pi[/mm]
> Volumeneinheiten beträgt?
>
> Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird
> sie nie berühren....
>
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}}[/mm] dx ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\infty[/mm] = b
Oha, das kannst du so nicht schreiben!
Es ist [mm]V_k=\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{0}^{b}{e^{-2kx} \ dx}[/mm]
>
> f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm]
??
Du integrierst doch [mm]f^2(x)=e^{-2kx}[/mm]
Das gibt [mm]-\frac{1}{2k}e^{-2kx}[/mm] --> Probe durch Ableiten ...
> F(x) = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm]e^{-kx}[/mm]
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm](e^{-bx}[/mm] -1)
>
>
> [mm]e^{-bx}[/mm] --> geht gegen null
>
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * -1
>
> Stimmt leider nicht
Nun, du erhältst: [mm]V_k=-\frac{1}{2k}\cdot{}\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\left[e^{-2kx}\right]_{x=0}^{x=b}[/mm]
Das rechne nochmal aus ...
Dann kannst du auch leicht dasjenige [mm]k[/mm] ausrechnen, für das [mm]V_k=\pi[/mm] ist ...
>
> Vr = [mm]\bruch{\pi}{2k}[/mm] gemäss Lösungsresultat
Was soll [mm]Vr[/mm] sein?? Der Ausdruck [mm]\frac{\pi}{2k}[/mm] ist doch gar nicht von r abhängig ...
Du solltest wahrlich konsistenter aufschreiben ...
Gruß
schachuzipus
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