Rotation + Kurvendiskussion.. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Ein drehsymmetrisches Staubecken hat eine Parabel mit der Gleichung y = [mm] ax^2 [/mm] als Berandung des Querschnitts. Beim Wasserstand 5 m hat die wasseroberfläche einen Durchmesser von 20 m.
a.) Welche Gleichung hat die Parabel ?
b.) welchen Rauminhalt hat das Becken beim höchsten Wasserstand 8 m ? |
| Aufgabe 2 | | Welche ganzrationale Funktion 4. grades hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt mit waagrechter tangente, schneidet die 1. Achse im Punkt P (2/0) und schließt mit der 1. Achse eine Fläche mit dem Inhalt 8 ein ? |
Zur 1. Aufgabe find da irgendwie keinen Ansatz, muss ich doch mit der gleichung fürs Rotationsvolumen rechnen? versteh ich nicht
bei 2 :
die Funktion wäre dann
f (x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
Wendepunkt f'' (x) = 0
und f''' ungleich 0
durch den wendepunkt hab ich dann auch die tangentengleichung
und durch den Punkt P (2/0) habe ich ja die nullstelle.
flächeninhalt?
weiß nicht so recht wie ich das jetzt alles kombinieren kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
Die 2 aufgabe mir der funktion 4 grades hab ich gelöst! aber die 1 versteh ich gar nicht! :(
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Hallo Katherine,
lass mich doch an deiner Lösung zu 2 bitte Teilhaben. Die finde ich gar nicht so ohne.
Liebe Grüße
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
Ok, also bei der 2 hab ich es jetzt so gemacht
weil ja steht sie verläuft durch den koordinatenursprung hab ich f(0) = 0 gesetzt
f(0) = [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx +e
also für e = 0 raus
und dann ist der wendepunkt im koordinatenursprung also
f'' (0) = 0
also c = 0
Und die tangente in koordinatenursprung
f'(0) = 0
also ist d = 0
und die nullstelle P (2/0)
f(2) =0
ist dann
f(x) = 16 a + 8 b
dannn hab ich nach b ausgelöst
b= -2a
und dann hab ich ja nur noch
fa (x) = [mm] ax^4 [/mm] - [mm] 2ax^3
[/mm]
und dann hab ich integriert
von 0 bis 2 weil das ja die nullstellen sind
und das = 8 weil 8 der flächeninhalt ist
und dann hab ich für a = -5 raus
und dass dann in b= -2a eingesetzt also für b = 10 raus
und dann ist die funktion
f(x) = [mm] -5x^4 [/mm] + 10 [mm] x^3
[/mm]
??
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Also ich vermute, dass du nicht einfach so deine c,d,e's. so in die Anbleitungen setzen kannst, da diese ja rein algebraisch ja nicht gleich sind. Ableiten bedeutet ja deine Tangente auf dem Graphen "wandern" zu lassen.
Liebe Grüße
Mathestudent
PS.: Ist nun alles klar mit der 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
Hmm... also in der Schule haben wir das auch schon mal so gemacht mir den a, b..... müsste eigentlich stimmen.
nein die 1 ist nicht ganz klar
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Hallo Kathrine,
also die erste Aufgabe habe ich lösen können, aber bei der 2. bin ich noch dabei.
Zur 1:
Zeichne dir doch mal eine Parabel, deren Scheitelpunkt durch den Ursprung geht. Deine Y-achse zeigt dir die Höhe des Pegels an. Die Stauchung bzw. Streckung deiner Parabel wäre dann der Durchmesser, die durch die Y-achse symmetrisch unterteilt wird.
Für deine Parabelgleichung habe ich [mm] y= \bruch{1}{20}*x^2 [/mm].
Für den Rauminhalt bei einem maximalen Pegel von 8m bildest du die Umkehrfunktion von [mm] y= \bruch{1}{20}*x^2 [/mm]. Danach wendest du das Integral der Form [mm] \pi\integral_{0}^{8} [f(x)]^2\, dx [/mm] an. [mm]V=640m^3[/mm].
Liebe Grüße
Mathestudent
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Wie man auf die Funktionsgleichung kommt ist mir nicht ganz klar? nur durch zeichnen???
versteh ich leider nicht
warum die Umkehrfunktion?
der letzte schritt ist mir dann wieder klar!
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kathrineee!
Aus der Aufgabe kann man entnehmen, dass gilt:
[mm] $$p\left(\bruch{20}{2}\right) [/mm] \ = \ p(10) \ = \ [mm] a*10^2 [/mm] \ = \ 5$$
Hieraus nun $a_$ ermitteln.
Gruß
Loddar
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danke, hab ich soweit verstanden
a= 2/5 ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kathrineee!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Oben habe ich mich vertan. Doch nunmehr ist es korrigiert.
Daher stimmt Dein Wert nicht ...
Gruß
Loddar
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Nein. 5/100= 5/5 * 1/20= 1 * 1/20= 1/20 !!!
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Also du hast einen Pegel von 5m. Also y=5. Der Durchmesser des Kreisschittes der drehsymmetrischen Parabel ist |-10|+|10|=20. Damit ist der Radius 10m. Daraus folgt, x=10. Dann gilt: Wegen y=ax²:5=a10² <=> 5=100a <=> 1/20=a. Also y=1/20x²
Liebe Grüße
Mathestudent
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Danke, das hab ich verstanden!
jetzt hab ich die funktion f(x) = 1/20 [mm] x^2
[/mm]
und dass jetzt noch von 0-8 integrieren? rotationsvolumen? was war das mit der Umkehrfunktion, wozu brauch ich die?
Liebe Grüße
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Röchtög  . Du bildest die Umkehrfunktion, weil du ja bezogen auf die X-achse integrierst. Du löst nach x auf und tauschst die variablen. Dann bist du schon fast fertisch.
Liebe Grüße
dein Mathestudent =P
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:)
also ist die Umkehrfunktion wurzel 20x oder 20 x ^-1/2 ?
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Fast richtig:
[mm] f(x)=\bruch{1}{20}x^2 [/mm]
<=> [mm] 20*f(x)=x^2 [/mm]
<=> [mm] \wurzel{20*f(x)}=x [/mm]
=> [mm] \wurzel{20*x}=f^{-1}(x) [/mm]
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Ich hab es jetzt so gemacht:
x und y vertauscht
x= 1/20 [mm] y^2 [/mm] | mal 20
20 x = [mm] y^2 [/mm] |wurzel
wurzel 20x = y
oder 20x ^-1/2 = y
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[mm]\wurzel{20x}[/mm] ist richtig das andere wäre ja[mm]\bruch{1}{\wurzel{20x}}[/mm]. Dies wäre falsch.
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ohh ja, hab ich verwechselt, dann nur ^1/2 ohne das minus
und jetzt rotationsvolumen bestimmen von 0 bis 8 integrieren?
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Genau! beachte aber die Hilfe, die ich gesendet habe: [mm]\pi\integral_{0}^{8} [f(x)]^2\, dx[/mm]
LG
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
640 pi ?
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Guuut!!! Damit hast du alles geschafft. Alles klar jetzt?
Liebe Grüße
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
Ja, vielen Dank für die tollen Hilfen!!
Liebe Grüße Kathrin
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