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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Freaxxx |
| Aufgabe | Eine Kugel rollt entlang einer schiefen Ebene in einer Rinne, in der sie zu 1/5R versinkt. Berechnen sie ihre Beschleunigung a(t) und ihre Ortskoordinate x(t). [mm] I=2/5mR2^2.
[/mm]
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Einen schönen guten Abend,
bin neu hier und hoff erstmal, dass ich hier alles richtig gemacht hab. Also hab die Aufgabe schon auf einer anderen Seite gestellt, aber keine zufriedenstellende Lösung bekommen, bzw. nich sicher, ob da nich noch mehr zusammen kommt.
Was habt ihr für ne idee dafür und vorallem, is das egal, wie tief die Kugel in der Rinne verschwindet oder nich?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/109387,0.html
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Na, in dem anderen Forum hast du ja eine große Hilfe!
Nun, du schreibts selbst:
[mm] $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J*\omega^2$
[/mm]
Der Ansatz ist auch OK! Bedenke aber nun, daß [mm] \omega=\frac{v}{r} [/mm] gilt!
[mm] $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J*\frac{v^2}{r^2}$
[/mm]
[mm] $mgh=v^2\left(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}\frac{J}{r^2}\right)$
[/mm]
Jetzt müßtest du aus dem h noch ein x (in Bewegungsrichtung) machen, was aber über [mm] $h=x*sin\beta$ [/mm] aus dem Neigungswinkel deiner Bahn folgt.
Mit anderen Worten, du hast jetzt eine Differenzialgleichung [mm] $x=C*\dot [/mm] x ^2$, die du lösen mußt.
Natürlich hängt das ganze von der Eintauchtiefe ab, ein Jojo "fällt" ja auch langsamer und dreht sich wie wild, weil der faden in dem Spalt ist.
Die Lösung ist mit etwas nachdenken schnell erraten: Die Differenzialgleichung ist vom Typ her die gleiche wie beim freien Fall, also sollte x(t)=At²+Bt+C, oder, wenn man die Anfangswerte auf null setzt, einfach x(t)=At² sein. Jetzt mußt du nur noch das A bestimmen, indem du den Ansatz in die DGL einsetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Freaxxx |
hmm, so richtig schlau bin ich noch nicht.
Kann man durch den steinerschen Satz dann das Trägheitsmoment durch J= [mm] J_s+m*s^2 [/mm] ersetzen?
Und wie sieht die differential Gleichung genau aus, weil komm auf etwas ganz komisches, was ich denke, nicht richtig ist.
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Den Satz von Steiner brauchst du nicht, denn die Kugel dreht sich doch um ihren Schwerpunkt. Also einfach das aus der Aufgabe.
Ansonsten habe ich doch schon recht viel geschrieben! Setze das x für das h ein, und x'=v. Dann bringst du die ganzen Konstanten auf eine Seite (hab ich dann C genannt). Mein Ansatz löst die DGL, und du mußt dann nur noch mein A ausrechnen und hinschreiben.
Zur Überprüfung: Wenn J=0, dann ist das so, als wenn die Kugel gleitet, und dann hättest du den einfachen Körper auf einer schiefen Ebene mit x(t)=1/2g sin(ß) t²
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Freaxxx |
Dann hab ich also für
[mm] v=\wurzel{\frac{5}{6}\*g\*sin\alpha\*x}
[/mm]
und das dann integrieren
[mm] s=\wurzel{\frac{5}{6}\*g\*sin\alpha\*x}*t
[/mm]
und differentiert
[mm] a=\frac{\wurzel{\frac{5}{6}\*g\*\sin\alpha\*x}}{t}.
[/mm]
Aber es sieht für mich falsch aus, hab ich da jetzt irgendwas nich beachtet?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Du hast nicht beachtet, daß das eine Differenzialgleichung ist.
Das x ist doch von t abhängig. Das heißt, du kannst nicht einfach die Wurzel mit t multiplizieren oder durch t teilen!
(zudem brauchst du die Wurzel nicht ziehen, das macht es nur unübersichtlicher).
Also
$v(t)^2=\frac{5}{6}\*g\*sin\alpha\*x(t)}$ (Da stimmt was nicht, aber das Prinzip ist das gleiche! )
v ist die Ableitung, ja:
$\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2=\frac{5}{6}\*g\*sin\alpha\*x(t)}$
Dies ist die Gleichung, die du lösen mußt.
Sieht schrecklich aus, ist aber schrecklich einfach: $x=A*t^2$ löst die Gleichung, denn $\dot x=2A*t$, und eingesetzt:
$4A=\frac{5}{6}\*g\*sin\alpha\}$
$A=\frac{5}{4*6}\*g\*sin\alpha\}$
und damit $x=\frac{5}{4*6}\*g\*sin\alpha\}*t^2$
Jetzt mußt du nur nochmal schaun, wie dieser Vorfaktor wirklich aussieht denn der hier ist falsch, denn z.B.das J fehlt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 So 21.01.2007 | | Autor: | Freaxxx |
Danke erstmal ganz doll für die Mühe das in mein Kopf reinzubringen. Das J hab ich mit dem gegebenen [mm] J=\frac{2}{5}\*m\*R^2 [/mm] (Trägheitsmoment einer Kugel) ersetzt.
Und das mit dem x hab ich mir auch schon gedacht, aber war mir nich sicher. Dann probier ich mich noch bischen daran und hoff mal dass ich das auch am Dienstag in der Klausur hinkriegen kann.
Aber eine Frage hät ich noch.
kann ich dann in J den verkleinerten Radius für R nehmen oder klappt das nich, weil man dann über die Masse integrieren muss.
Hoff mal, dass ich nich ganz zu bescheuerte Fragen stell, aber hab Schiss die Klausur total zu verhauen.
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Wird schon...
Das J berechnet sich aus der gesamten Kugel. Demnach bleibt das der Kugelradius. Das "kleine" r ist wirklich nur für die Winkelgeschwindigkeit da.
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