Rotation um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 01.04.2006 | | Autor: | MxM |
| Aufgabe | Abituraufgaben Saarland 1995 - Aufgabe 1 - 2.3:
Der Graph von f ( [mm] f(x)= \br {4}{x+1} [/mm]) und die Gerade mit der Gleichung x=10 begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der bei der Rotation dieses Flächenstücks um die y-Achse erzeugt wird. |
Habe die Aufgabe eigentlich richtig gelöst, indem ich die Umkehrfunktion von f im Intervall von 4/11 ( f(10)=4/11 ) bis 4 um die y-Achse gedreht habe (Volumen: 25,453 [mm] \pi [/mm] = 76,82 ) und dann noch einen Zylinder mit Radius r=10 und der Höhe 4/11 (Volumen: 400/11 [mm] \pi [/mm] = 114,24 drangesetzt habe, so dass ich zusammen auf ein Volumen von 191 kam, wie es in den Lösungsvorschlägen angegeben war.
Allerdings, und jetz kommt das eigentliche "Problem", haben die in der Lösung einen anderen Ansatz gehabt, der so losging:
[mm] 2 \pi \integral_{0}^{10}{x * f(x) dx} = 2 \pi \integral_{0}^{10}{x * \br {4}{x+1} dx} [/mm]
Am Ende kommt bei diesem Ansatz dann auch heraus [mm] 8 \pi * (10-ln(11) ) = 191 [/mm] .
Mich würde jetzt mal interessieren ob dieser Ansatz mit [mm] 2 \pi \integral_{a}^{b}{x * f(x) dx} [/mm] immer gilt für die y-Achsen-Rotation oder nur bei dieser Funktion und wie die da überhaupt drauf kommen. Habe nirgends was dazu finden können.
Grüße
MxM
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PS: Wie kann ich denn mit dem TeX-Skript die Grenzen eines Integrals darstellen nachdem ich das Integral aufgelöst habe, alsi deser Senkrechtstrich mit den Grenzen dahinter in der Art:
|b
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|a
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Hey MM,
die Formel $ 2 [mm] \pi \integral_{a}^{b}{x \cdot{} f(x) dx} [/mm] $ gilt immer, wenn du Funktionen um die y-Achse rotieren lässt.
Du musst du dir das folgendermassen vorstellen: du zerhackst die Funktion in jedem Punkt und erhältst horizontale Ringe, wenn du die Funktion rotieren lässt. Die Fläche dieser Ringe wäre der Umfang mal die Höhe: also: 2 [mm] \pi [/mm] x*f(x).
Jetzt müssen all diese Ringe addiert werden und dazu braucht man das Integral:
also: $ 2 [mm] \pi \integral_{a}^{b}{x \cdot{} f(x) dx} [/mm] $
Leuchtet dir das ein?
Ciao Gorky
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:34 Sa 01.04.2006 | | Autor: | MxM |
Hi
Vielen Dank. Die Begründung klingt schonmal schlüssig. eine kleine weitere Frage hätte ich aber noch dazu: Wenn ich mal nicht um die y-Achse rotieren will, sonder um eine Achse x=s, kann ich dann die selbe Formel anwenden und die Integration denn in den Grenzen s bis b laufen lassen? So wies aussieht müsste das ja so sien, da ich für eine Rot. um die y-Achse ja 0 als untere Grenze einsetze. Und würde es auch mit einer oberen Grenze im Unendlichen gehen?
Grüße
MxM
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Hallo,
was du alles für Fragen hast... An die erste hab ich noch nie gedacht und darum kann ich auf die SChnelle nix dazu sagen. Ich glaube es müsste funktionnieren wie du es beschrieben hast.
Mach doch mal den Versuch: Berechne das Volumen z.B. im Intervall [0,7] und im Intervall [0,5]. Dann nimmst du deine Methode und berechnest das Intervall [5,7]. daraus müsste sich etwas aussagekräftiges ableiten lassen... Mach mich schlau!
Und natürlich kann man bis ins Uendliche integrieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Sa 01.04.2006 | | Autor: | MxM |
Ok, ich werde mich vllt. mal dransetzen sobald ich Zeit habe,vielleicht morgen, aber vermutlich werde ich die nächsten Tage keine übrig haben da ich erst noch gravierendere Probleme zu lösen habe mit dem Abi vor der Tür ;)
Vielen Dank aber für die Mühe auf jeden Fall.
MxM
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