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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 25.03.2007 | | Autor: | Marykris |
| Aufgabe | | Die von den Graphen zu f(x)=-x+6 und [mm] g(x)=-2x^2+4x+6 [/mm] eingeschlossene Fläche rotiert um die 1. Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Körpers. |
Leider hab ich das Berechnen von Rotationsvolumen im Unterricht verpasst, und da ich nächste Woche eine Klausur schreibe versuche ich das jetzt alleine zu verstehen, nur leider ohne Erfolg.
Ich habe die Aufgabe bestimmt 4 Mal gerechnet, aber an einigen Stellen bleibe ich immer wieder hängen.
Zuerst habe ich natürlich die Schnittstellen (0;2,5) berechnet. Und ich weiß, dass ich um die Fläche alleine zu haben g(x)-f(x) rechnen muss. Aber Ich weiß nicht genau wie ich dann das Volumen berechne.
Muss ich [mm] V=\pi \integral_{0}^{2,5}{g(x)^2 dx}-{f(x)^2 dx}
[/mm]
oder [mm] V=\pi \integral_{0}^{2,5}{g(x)^2 dx} [/mm] - [mm] \pi \integral_{0} ^{2,5}{f(x)^2 dx}
[/mm]
Und wann muss ich eigentlich dann hoch 2 rechnen? ganz zum Schluss? Vor dem Integrieren? Nach dem Integrieren?
Ich bin leicht ratlos und fände es deshslb toll wenn mir jemand den Lösungsweg aufschreiben könnte (muss nicht allzu kleinschrittig sein, aber etwas mehr als das Ergebnis wäre einfach super, ich will das ganze ja schließlich verstehen)
Danke im Vorraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 So 25.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ok, in dem Intervall [0;2,5] liegt die Parabel, also g, höher als f.
Du könntest also die ganze Parabel von 0 bis 2,5 um die x-Achse rotieren lassen und erhälst ein großes Volumen. Danach lässt du die Gerade um die x-Achse von 0 bis 2,5 rotieren und erhälst ein kleineres Volumen, das du vom großen abziehen kannst und damit erhälst du das gesuchte Volumen.
Formelhaft:
[mm] V=\pi*\integral_{0}^{2,5}{(-2x²+4x+6)² dx}-\pi*\integral_{0}^{2,5}{(-x+6)² dx}
[/mm]
Nun kannst du dich dran machen zu vereinfachen!
[mm] \pi [/mm] ausklammern bringt dir:
[mm] V=\pi*(\integral_{0}^{2,5}{(-2x²+4x+6)² dx}-\integral_{0}^{2,5}{(-x+6)² dx})
[/mm]
Und da gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}-\integral_{a}^{b}{i(x) dx}=\integral_{a}^{b}{(h(x)-i(x)) dx}, [/mm] kannst du schreiben:
[mm] V=\pi*\integral_{0}^{2,5}{((-2x²+4x+6)²-(-x+6)²) dx}
[/mm]
Jetzt musst du erst die binomischen Formel auflösen und zusammenfassen, dann kannst du wie gehabt integrieren!
Und von den beiden Formel sind beide richtig (abgesehen von dem einen dx, das da zu viel ist), aber mit der 1. geht das rechnen schneller! Solltest aber auch wissen wie die zustande kommt, aber das weißt du ja jetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mo 26.03.2007 | | Autor: | Marykris |
Vielen Dank erstmal, das hat mir sehr weitergeholfen!!
Eine Frage habe ich allerdings noch, und zwar, kann ich [mm] (-2x^2+4x+6)^2 [/mm] einfach so ausrechnen ohne irgendetwas beachten zu müssen?
Also dann [mm] -2x^4+4x^2+36 [/mm] ??
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> Vielen Dank erstmal, das hat mir sehr weitergeholfen!!
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> Eine Frage habe ich allerdings noch, und zwar, kann ich
> [mm](-2x^2+4x+6)^2[/mm] einfach so ausrechnen ohne irgendetwas
> beachten zu müssen?
>
> Also dann [mm]-2x^4+4x^2+36[/mm] ??
Hallo Marykris,
ja, etwas beachten ist ne gute Idee 
Also [mm] (-2x^2+4x+6)^2=(-2x^2+4x+6)(-2x^2+4x+6)=4x^4-8x^3-12x^2-8x^3+16x^2+24x-12x^2+24x+36
[/mm]
[mm] =4x^4-16x^3-8x^2+48x+36
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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