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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Sa 29.12.2007 | | Autor: | mathefux |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = −x2 + 4x − 3.
(a) Bestimmen Sie die Fl¨ache, welche die Kurve f(x) = −x2+4x−3
mit der x-Achse einschließt !
(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes !
xs = . . .
ys = . . .
(c) Wie groß ist das Volumen des Rotationsk¨orpers, der durch Rotation
von F um die y-Achse entsteht? |
Hallo, ich brauche wieder Hilfe bei einer Aufgabe*(siehe Aufgabenstellung)
Diesmal geht es um Rotationskörper,Schwerpunkt und deren Volumen. Hoffentlich habe ich das passende Unterforum dazu gefunden.
Meine Lösung dazu:
(a)
Hab die Nullstellen Extremstelel bestimmt um zu sehen wie der Graph aussieht bzw welche Fläche er einschließt:
[mm] f(x)=-x^{2}+4x-3
[/mm]
[mm] 0=-x^{2}+4x-3 [/mm] |*-1
PQ-Formel
x1,2= 2 +/- [mm] \wurzel{4-3}
[/mm]
x1=3 x2=1
Extremstelle bei xE1=2 , das ganze sieht wie eine normal Parabel aus (nach unten gerichtet)
Flächenberechnung:
[mm] A=\integral_{1}^{3}{-x^{2}+4x-3 dx}
[/mm]
[mm] A=|(-\bruch{1}{3}*3^{3}+2*3^{2}-3*3)-(-\bruch{1}{3}+2-3)|
[/mm]
A=| [mm] \bruch{4}{3} [/mm] |
(b)
[mm] Xs=\bruch{1}{A}\integral_{1}^{3}{x*(-x^{2}+4x-3 dx}
[/mm]
[mm] Xs=\bruch{1}{\bruch{4}{3}}\integral_{1}^{3}{-x^{3}+4x^{2}-3x dx}
[/mm]
Xs=2
[mm] Ys=\bruch{1}{2A}\integral_{1}^{3}{y^{2} dx}
[/mm]
[mm] Ys=\bruch{1}{2*-\bruch{14}{3}}\integral_{1}^{3}{(-x^{2}+4x-3)^{2} dx}
[/mm]
[mm] Ys=\bruch{1}{2A}*[9x+\bruch{1}{5}x^{5}-2x^{4}+\bruch{22}{3}x^{3}-12x^{2}] [/mm] (Grenzen 3 bis 1)
Ys=| -2,043 |
Irgendwie können die Shcwerpunktkoordinaten ja nicht simmen... der Schwerpunkt ist doch immer der Mittelpunkt eines rotieren Körpers richtig?
(c)
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f'(x) dx}
[/mm]
[mm] V=\pi*\integral_{1}^{-3}{x^{2}*(-2x+4) dx}
[/mm]
[mm] V=\pi*\integral_{1}^{-3}{-2x^{3}+4x^{2} dx}
[/mm]
[mm] V=\pi*| [/mm] - 77,33 |
V= - 243
Mfg wäre schon wenn jemand drüber guckt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 So 30.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Bei der a) muss irgendwas schiefgelaufen sein;
das korrekte Ergebnis müsste meiner Meinung nach [mm] A=\bruch{4}{3} [/mm] lauten; dein Rechenweg ist komplett richtig nur im letzten Schritt, sprich beim Addieren der Summanden, ist offensichtlich etwas schief gelaufen; schau einfach nochmal drüber.
Es stimmt aber wie gesagt so, wie es da steht bis, auf das Endergebnis.
bei der b) bin ich leider gar keine Hilfe; ich habe noch nie eine Formel dergleichen gesehen und auch noch nie den Schwerpunkt eines Rotationskörpers berechnet. Dass der Schwerpunkt stets in der Mitte liegt, ist jedoch falsch. Das kann man so nicht pauschal sagen; z.b. der Schwerpunkt einer Vase, welche nach oben hin schmal zusammenläuft, liegt auch deutlich weiter unten; das ist es, wie ich mir das gerade mit der Integration dieser Fkt vorstelle, daher..
Und bei der c bin ich ein wenig verwundert über deine Formel; du benutzt nicht die "normale Formel für Rotationskörper", wie ich sie kenne; aber die sieht auch interessant aus :D
Weil es ja eine Rotation um die y- Achse sein soll, muss man zunächst "x und y Werte vertauschen", bzw. würde ich; dann hätte ich als Funktion
[mm] f(x)=\wurzel{1-x²}+2 [/mm] v [mm] f(x)=-(\wurzel{1-x²}-2)
[/mm]
Naja aber irgendwie fehlen doch die Grenzen? Wenn kein Intervall gegeben ist, kann man das, in meiner Vorstellung jedenfalls, nicht bestimmen, da das Volumen einfach unendlich groß wäre.
So wie ich es mir vorstelle, wäre der Intervall von y=-3, sprich dem Schnittpunkt mit der y- Achse und y=1, dem Scheitelpunkt der Parabel gegeben.
Dies übertragen auf meine Funktionen ergäbe dann:
[mm] \pi*\integral_{-3}^{1}{(-(\wurzel{1-x²}-2)² dx} [/mm] = [mm] \bruch{8*\pi}{3}
[/mm]
Ohwei irgendwie .... war das bestimmt kein guter Beitrag von mir :D
Naja es kann ja mal noch jemand anders drüber schauen; das wären aber meine Ergebnisse; wo ich gerade wieder anfange den Analysis- Kram für mein Abitur zu wiederholen, mache ich sowas mal gerne... :D
Ciao, Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 So 30.12.2007 | | Autor: | mathefux |
Hi maggons , ohja dicker Tippfeheler :D [mm] \burch{4}{3} [/mm] ist richtig .
zu (b) sollte noch einer bitte drüber gucken
zu (c)
[quote]Naja aber irgendwie fehlen doch die Grenzen? Wenn kein Intervall gegeben ist, kann man das, in meiner Vorstellung jedenfalls, nicht bestimmen, da das Volumen einfach unendlich groß wäre. [quote]
Hab ich mir auch gedacht weil die Grenzen die ich genommen hab nicht stimmen denke ich, sein Volum ist ja größer. Kann mir wer sagen was man da für Grenzen nimmt?
Die Formel die ich genommen hab fiel auch in der Vorlesung :P in Wikipedia hab ich sie auch nochmal gefunden :
![[]](/images/popup.gif) Klick mich
Wäre schon wenn mir einen genauen erklären könnte wie das mit der Volumenberechnung für einen Rotationskörper funktioniert wann man welche formel einsetzt und welche nicht.
@maggon nochmal
Wie kommst du auf diese Formel?
$ [mm] f(x)=\wurzel{1-x²}+2 [/mm] $ v $ [mm] f(x)=-(\wurzel{1-x²}-2) [/mm] $
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 So 30.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ich bin auf die Formel gekommen, indem ich für alle x einfach ein y und umgekehrt eingesetzt habe :p
Dadurch habe ich die Umkehrfunktion dieser Funktion gebildet; diese hat dann "die selbe Lage zur y-Achse, wie die Ursprungsfunktion zur x-Achse", wenn ich das mal so formulieren darf.
Das habe ich gemacht, weil ich eigentlich nur die Formel zur Rotation um die x-Achse kenne.
Sprich:
y= -x² +4x -3 mache ich zu x=-y²+4y-3
das ganze nun noch wieder nach y umgestellt und aufgelöst, ergibt meine oben genannte Formel.
Aus deinem Wikipedia Artikel ist das ja auch ersichtlich:
Bei Rotation um die y-Achse muss man y = f(x) umformen zur Umkehrfunktion x = f (y). Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist.
Ich glaube nicht, dass unsere Funktion beide Kriterien erfüllt, da ich 2 mögliche Werte bekomme; sie ist z.B. nicht streng monoton.
Aber das Rotieren des negativen Ergebnisses bringt bereits das Ergebnis, wenn du dir einfach mal die Graphen plotten lässt.
Ich bin zwar, leider, noch kein Student aber vllt kann man die von dir verwendete Formel auch nicht anwenden, weil die Funktion ebend nicht stetig und streng monoton ist?
Die gesuchten Grenzen sind bzw können ohne nähere Angaben hier nur der Scheitelpunkt und der Schnittpunkt mit der y- Achse sein; sprich y= 3 und 1.
Man kann eigentlich immer die eine Formel zur Rotation benutzen; muss halt nur bei Rotation um die y- Achse vorher die Umkehrfunktion bilden :)
Als Sekundärlektüre vllt noch:
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil3pdf/Rotationsvolumen.pdf
https://matheraum.de/read?t=344369
Ciao, Lg :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 30.12.2007 | | Autor: | mathefux |
Hallo maggons mir ist immer noch nicht klar wie du auf die Formel gekommen bist.
$ [mm] f(x)=\wurzel{1-x²}+2 [/mm] $ v $ [mm] f(x)=-(\wurzel{1-x²}-2) [/mm] $ Irgendwie ist das so durcheinander , was soll dieses V dazwischen ? dann hast du noch zweimal hingeschrieben?
Du hast gesagt du hast einfach das x mit dem y und das y mit dem x getauscht so. Von hier y= -x² +4x -3 tauschen kommt das raus ->
mache ich zu x=-y²+4y-3. So dann schreibst du (" das ganze nun noch wieder nach y umgestellt und aufgelöst, ergibt meine oben genannte Formel") Wieder nach y umgestellt? Wir haben doch nur ersetzt jetzt nach y umstellen? Aber wie hast du das nach y umgestellt. Also diese Form [mm] x=-y^{2}+4y-3 [/mm] nach y umgestellt. Ich weiß nicht wie das gehen soll. Könntest du mir das bitte vorrechnen?
EDIT:
Bist du dir da sicher das wenn man das Volumen eines Körpers, das um die y-Achse rotiert berechnen will immer so vorgeht wie dus beschrieben hast?
Ausser halt wenn man einen "Funktion" hat die "streng monoton ist" ,die Formel von Wiki nehmen.
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 30.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
der Schwerpunkt eines Rotationskörpers (um die x-Achse) liegt aus Gründen der Symmetrie stets auf der x-Achse.
Den x-Wert berechnet man als gewichtetes arithmetisches Mittel der Massen an den verschiedenen Stellen.
Bei Annahme eines homogenen Körpers (überall gleiche Masse) wäre das
[mm] $x_s [/mm] = [mm] \frac{\int_a^b x * f(x)^2 \; dx}{\int_a^b f(x)^2 \; dx}$
[/mm]
Gruß
Will
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a) ist richtig (A=4/3).
c) ist fast richtig: Statt [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{y^2 dx} [/mm] nimmst du bei der Rotation um die y-Achse entsprechend
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{x^2 dy}. [/mm] Dabei ist dy=f'(x)dx. Aber:
Für die Grenzen musst du dir natürlich statt der x- die y-Werte deines Grapen ansehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die grüne Fläche, die offenbar um die y-Achse rotieren soll, findest du die Grenzen bei y=-3 (Schnittpunkt mit der y-Achse) und y=1 (Hochpunkt). Also musst du von -3 bis 1 integrieren.
b) Welcher Schwerpunkt ist gemeint? Es gibt einen Linienschwerpunkt, Flächenschwerpunkt, Körperschwerpunkt...
Ich glaube nicht, dass der Schwerpunkt des Rotationskörpers gemeint ist, dann hätte man c) vor b) gestellt. Falls es der Schwerpunkt der Fläche aus a) sein sollte:
[mm] x_s [/mm] muss auf der Symmetrieachse x=2 liegen, also [mm] x_s=2. [/mm] Hierzu teilst du alle Flächenstückchen in senkrechte Linien der Höhe y und der Breite dx ein und multiplizierst sie mit dem Abstand von der y-Achse, also
[mm] \integral_{1}^{3}{x*f(x) dx}
[/mm]
Das Ergebnis dividierst du durch A=4/3. So erhältst du [mm] x_s.
[/mm]
Für [mm] y_s [/mm] teilst du alle Flächenstückchen ein in waagerechte Linien der Breite [mm] x_2-x_1 [/mm] (s.u.)und der Höhe dy ein und multiplizierst sie mit dem Abstand von der x-Achse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei löst du die Gleichung [mm] y=-x^2+4x-3 [/mm] nach x auf und erhältst für jede Höhe y den linken und rechten Rand des jeweiligen Streifens: [mm] x_1=2-\wurzel{1-y} [/mm] und [mm] x_2=2+\wurzel{1-y}, [/mm] also [mm] x_2-x_1=2*\wurzel{1-y}.
[/mm]
Also berechnest du nun
[mm] \integral_{0}^{1}{y*2*\wurzel{1-y} dx} [/mm] (Grenzen für y!)
Das Ergebnis dividierst du durch A=4/3. So erhältst du [mm] y_s.
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Nochmals zu b): man erhält [mm] y_s [/mm] = 0,4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 30.12.2007 | | Autor: | mathefux |
Hallo, erstmal vielen Dank an alle das ihr mir helft.
@HJKweseleit.
zu (b) Die Schwerpunktskoordinate xs hab ich oben korriegiert , ich hab durch 14/3 geteilt anstatt durch 4/3 .
$ [mm] y=-x^2+4x-3 [/mm] $ nach x auf und erhältst für jede Höhe y den linken und rechten Rand des jeweiligen Streifens: $ [mm] x_1=2-\wurzel{1-y} [/mm] $ und $ [mm] x_2=2+\wurzel{1-y}, [/mm] $ also $ [mm] x_2-x_1=2\cdot{}\wurzel{1-y}. [/mm] $
Ich weiß nicht wie ich die Gleichung nach x-auflösen soll. Komme nicht auf die Gleichungen x1 / x2 .
Leider stand auch nicht in der Aufgabe welcher Schwerpunkt gemeint ist. Falls man doch den Schwerpunkt des Rotationskörpers berechnen muss Wie geht man dabei vor um xs bzw ys zu bestimmen? So wie kopper vorgeschlagen hat?
Mfg
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Du musst die Länge der roten Streifen in meinem Bild bestimmen und mit y (Abstand von der x-Achse) multiplizieren. Diese Länge hängt von y ab. Es ist
[mm] y=-x^2+4x-3.
[/mm]
Zu jedem y zwischen 0 und 1 (s. mein 2. Bild) gibt es einen solchen Strich mit der Länge, die vom linken zum rechten Punkt des Graphen reicht. Diese Länge muss man bestimmen.
Wir berechnen somit für einen y-Wert die beiden x-Werte, für die der Punkt (x|y) auf dem Graphen liegt.
[mm] y=-x^2+4x-3
[/mm]
[mm] x^2-4x+3+y=0< [/mm] p-q-Formel
[mm] x=2\pm\wurzel{4-3-y}=2\pm\wurzel{1-y}, [/mm] also
[mm] x_1=2-\wurzel{1-y} [/mm] und [mm] x_2=2+\wurzel{1-y}, [/mm] somit
[mm] x_2-x_1=2*\wurzel{1-y}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 30.12.2007 | | Autor: | mathefux |
Hallo, vielen Dank nochmal. Ich weiß nun wie ichs machen muss, bin noch dabei das Integral zu lösen ;) aber denke das kriege ich schon hin.
Bis dahin wünsche ich allen ein guten Rutsch ins neue Jahr!
Mfg
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Allgemein folgende Merkregel:
Zeichnest du um einen Parabelbogen ein Rechteck, das diesen genau enthält, so gelten folgende Beziehungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Parabelfläche (rot) ist 2/3 so groß wie die Rechteckfläche.
Der Flächen-Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse in 40 % der Parabelhöhe.
Bei der Rotation der Gesamtfigur entsteht ein Zylinder mit einbeschriebenem Paraboloid.
Das Paraboloid-Volumen nimmt die Hälfte des Zylindervolumens ein.
Der Körperschwerpunkt befindet sich auf der Rotationsachse in 1/3 der Parabelhöhe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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