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Forum "Integralrechnung" - Rotationskörper
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Rotationskörper: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Do 08.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe
Berechne das Volumen des Körpers (Drehung um die x-Achse) der Funktion f im Intervall der beiden NST:

[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3+x^2 [/mm]

Benutze die Formel [mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm]

Ich berechne erst die NST und setze f(x)=0

[mm] 0=\bruch{1}{3}x^3+x^2 [/mm] nach Ausklammern von [mm] x^2 [/mm] erhalte ich

[mm] 0=x^2(\bruch{1}{3}x+1) [/mm] die NST heißen also [mm] x_0_1=0 [/mm] und [mm] x_0_2=-3 [/mm]

Nun benutze ich die Formel:

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{3}x^3+x^2)^2 dx} [/mm]

nun löse ich die Potenz auf und multipliziere aus:

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{9}x^6+\bruch{2}{3}x^5+x^4)dx} [/mm]

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi [\bruch{x^7}{63}+\bruch{x^6}{9}+\bruch{x^5}{5}]^0_{-3} [/mm]

ist es soweit richtig ? Und wann und wo muesste ich bei derartigen Aufgaben Betragszeichen setzen ?

Schorsch


Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.

        
Bezug
Rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Do 08.01.2009
Autor: schachuzipus

Halo Georg,

> Berechne das Volumen des Körpers (Drehung um die x-Achse)
> der Funktion f im Intervall der beiden NST:
>  
> [mm]f(x)=\bruch{1}{3}x^3+x^2[/mm]
>  
> Benutze die Formel
> [mm]V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]
>  Ich
> berechne erst die NST und setze f(x)=0
>  
> [mm]0=\bruch{1}{3}x^3+x^2[/mm] nach Ausklammern von [mm]x^2[/mm] erhalte ich
>  
> [mm]0=x^2(\bruch{1}{3}x+1)[/mm] die NST heißen also [mm]x_0_1=0[/mm] und
> [mm]x_0_2=-3[/mm] [ok]
>  
> Nun benutze ich die Formel:
>  
> [mm]V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{3}x^3+x^2)^2 dx}[/mm] [ok]
>  
> nun löse ich die Potenz auf und multipliziere aus:
>  
> [mm]V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{9}x^6+\bruch{2}{3}x^5+x^4)dx}[/mm] [ok]
>  
> [mm]V_{Rotationskoerper}=\pi [\bruch{x^7}{63}+\bruch{x^6}{9}+\bruch{x^5}{5}]^0_{-3}[/mm] [ok]

>  
> ist es soweit richtig ?

Ja, aber noch ausrechnen ;-)

>  Und wann und wo muesste ich bei derartigen Aufgaben Betragszeichen setzen ?

Musst du das denn überhaupt? Ich meine, wenn du [mm] $(f(x))^2$ [/mm] nimmst, so ist das doch immer [mm] $\ge [/mm] 0$

>  
> Schorsch
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Rotationskörper: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 Fr 09.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Aufgabe
Ich habe also noch folgendes auszurechnen:

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi [\bruch{x^7}{63}+\bruch{x^6}{9}+\bruch{x^5}{5}]^0_{-3} [/mm]

Jetzt rechne ich wie folgt:

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{(-3)^7}{63}+\bruch{(-3)^6}{9}+\bruch{(-3)^5}{5}) [/mm]

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{-2187}{63}+\bruch{729}{9}+\bruch{-243}{5})) [/mm]

nach Kürzen erhalte ich:

[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{-243}{7}+81+\bruch{-243}{5})) [/mm]

jetzt noch den Nenner 35... und ich erhalte als Ergebnis:

[mm] V_{Rotationskoerper}= \bruch{81}{35}\pi [/mm]

Ganz schöne Rechnerei aber man soll ja nicht alles den Computern überlassen...

Das mit den Betragszeichen kommt bestimmt in folgender Aufgabe vor:

Drehung von [mm] f(x)=x^2 [/mm] um die x-Achse, Schnittpunkte mit der geraden y=1 (g(x)=1.
Da muesste man doch die Differenz der Integrale F(x)-G(x) rotieren lassen, oder ?

Habe folgendes Integral aufgestellt:

[mm] V_R=\pi|\integral_{a}{^b}{(x^2-1)^2 dx}| [/mm] oder sind die Betragszeichen überflüssig ?

Schorsch

Bezug
                        
Bezug
Rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:44 Fr 09.01.2009
Autor: kuemmelsche

Guten Abend Georg,

warum stellst du denn eine Differenzfunktion auf. So wie ich die Aufgabe verstehe, sollst du die Funktuin [mm] f(x)=x^2 [/mm] rotieren lassen. Die Gerade y=1 gibt dir nur die Integrationsgrenzen an.

Der Betrag ist überflüssig, bei jeder Rotation. [mm] |x|^2=x^2, [/mm] da brauchste kein Betrag.

d.h. für deine Aufgabe:

[mm] \integral_{-1}^{1}{(x^2)^2 dx}=\integral_{-1}^{1}{(x^4) dx}=[\bruch{1}{5}x^5]^1_-1=\bruch{1}{5}-(-1)*\bruch{1}{5}=\bruch{2}{5} [/mm]

Zur Erklärung: Der Körper müsste die Form einer in der Mitte zusammengedrücken Zylinder haben...

Deine Differenzfunktion brauchst du nur denn, wenn es heißt "Rotation um die Gerade y=1". Es gibt auch die Möglichkeit um g(x)=x rotieren zu lassen, dann muss es heißen d(x)=f(x)-x.

lg Kai

Bezug
                                
Bezug
Rotationskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:52 Fr 09.01.2009
Autor: Schachschorsch56

Danke für die Antwort, Kuemmelsche !

War wohl zu sehr noch bei den Flächenintegralen...Bisher hatte ich mich auch nur mit Aufgaben (Rotation um die x-Achse) beschäftigt.

Schorsch

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