Rotationskörper f(x)=sin(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Öberflache des Rotationskörper f(x)=sin(x) zwischen 0->pi gedreht um x-Achse. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erst mal!
Also mein Problem ist ich weis nicht wie ich es fertig integrieren kann!
ich hab in die oberflächenformel eingesetzt und mit u=cos²x substituiert. Damit komm ich auf:
-pi*int(sqrt((1+u)/u)*du)
und da häng ich! ich weis zwar wie das ergebniss ausschauen soll aber ich komm nicht hin! BITTE UM HILFE
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Hallo,
also dein Integral lautet:
[mm] $V_x [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi}(sin(x))^2 \,dx$
[/mm]
Das Quadrat des Sinus integrierst Du am besten partiell:
[mm] $\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = [mm] \integral [/mm] sin(x)*sin(x) [mm] \,dx$
[/mm]
[mm] $\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = -cos(x)*sin(x) + [mm] \integral cos^2(x) \,dx$
[/mm]
[mm] $\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = -cos(x)*sin(x) + [mm] \integral 1-sin^2(x) \,dx$
[/mm]
[mm] $2*\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = -cos(x)*sin(x) + [mm] \integral [/mm] 1 [mm] \,dx$
[/mm]
[mm] $2*\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = -cos(x)*sin(x) + x +C'$
[mm] $\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = [mm] -\bruch{cos(x)*sin(x)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2} [/mm] +C$
[mm] $\integral sin^2(x) \,dx [/mm] = [mm] -\bruch{sin(2x)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2} [/mm] +C$
Also lautet das Volumen deines Rotationskörpers:
[mm] $V_x [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi}(sin(x))^2 \,dx [/mm] = [mm] \left[ \bruch{x}{2}-\bruch{sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\pi}$
[/mm]
LG, Martinius
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| Aufgabe | | Oberfläche des Rotationskörper f(x)=sin(x) 0->pi |
Hallo und danke martinius, aber wie ich oben geschrieben habe suche ich die oberfläche des rotationskörper!
[mm] 2*\pi+\integral_{0}^{\pi}{\sin(x)*\wurzel{1+\cos²(x)} dx}
[/mm]
das muß ich berechnen als erstes habe ich substituiert u=cos²x aber danach hänge ich!
Bitte um hilfe
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hab mich da verschrieben
so ist es richtig
[mm] 2\cdot{}\pi*\integral_{0}^{\pi}{\sin(x)\cdot{}\wurzel{1+\cos²(x)} dx}
[/mm]
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Hallo mini-parkplatz!
Substituiere zunächst $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] ; anschließend sollte es dann mit partieller Integration weiter gehen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | | Oberfläche rotationskörper sin(x) |
Ich habe mit u=cos²x substituiert, damit komme ich bis
[mm] -\pi*\integral_{o}^{\pi}{\wurzel{\bruch{1+u}{u}} du}
[/mm]
aber dann hab ich meiner meinung nach alles probiert! auch partiel!
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Hallo mini-parkplatz!
Bitte genau lesen: bei der Substitution nur [mm] $\cos(x)$ [/mm] (ohne Quadrat) ersetzen!
Gruß vom
Roadrunner
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damit komme ich auf
[mm] -2\pi*\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{1+u²} du}
[/mm]
hilft mir auch nicht weiter, entweder ich stehe so auf der leitung oder ich überseh irgendwas!
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Hallo mini-parkplatz!
Es gilt ja: [mm] $\wurzel{1+u^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}*\wurzel{1+u^2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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jetzt hab ich
[mm] -2\pi*(u*\wurzel{1+u²}-\integral_{0}^{\pi}{\bruch{u²}{\wurzel{u²+1}} du})
[/mm]
das kann ich aber auch nicht integrieren?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo mini-parkplatz!
Entweder wählst Du den Alternativweg (siehe letzte Antwort), oder Du zerlegst das neue Inetrgal wie folgt:
$$\bruch{u^2}{\wurzel{u^2+1}} \ = \ \bruch{u^2 \ \red{+1-1}}{\wurzel{u^2+1}} \ = \ \bruch{u^2 +1}{\wurzel{u^2+1}}-\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}} \ = \ \wurzel{u^2+1}}-\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}}$$
Gruß vom
Roadrunner
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des bringt ja auch nix!
da kann i zwar wieder partiell integriern aber auf ein ergebniss komm ich ni!
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Hallo mini_parkplatz,
wenn Du dein Profil ergänzen könntest wüssten wir z.B., ob Du noch Schüler bist oder nicht.
Weil ich nicht weiß ob ihr Hyperbelfunktionen schon hattet und um dir die Rechnung etwas abzukürzen, schreibe ich dir das Ergebnis hin:
[mm] $M_x [/mm] = [mm] 2\pi*\integral_{0}^{\pi}sin(x)*\wurzel{1+cos^2(x)}=\pi*\left[u*\wurzel{1+u^2}-arsinh(u) \right]_{-1}^{1}$ [/mm]
LG, Martinius
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Hallo mini-parkplatz!
Für das Integral [mm] $\integral{\wurzel{1+u^2} \ du}$ [/mm] kannst Du auch mit der Substitution $u \ := \ [mm] \sinh(t)$ [/mm] vorgehen.
Gruß vom
Roadrunner
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