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| Aufgabe | Rotationsparaboloid R={(x,y,z) [mm] \in R^3: z=x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Sei [mm] P=(x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] ein beliebiger Punkt auf R. Sei weiter [mm] F=(0,0,\bruch{1}{4}).
[/mm]
Wir untersuchen die folgenden Vektoren:
[mm] v_{1}=\overline{PF}
[/mm]
[mm] v_{2}=(0,0,1)
[/mm]
sowie [mm] v_{3} [/mm] als Normalenvektor an R im Punkt P.
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen.
b) Zeigen Sie, dass [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] jeweils den gleichen Winkel zu [mm] v_{3} [/mm] bilden.
c) Finden Sie eine physikalische Deutung dieser Tatsache und geben Sie eine mögliche Anwendung in der Technik an. |
Hallo zusammen,
ich bearbeite gerade unser neues Übungsblatt und komme bei Teilaufgabe b irgendwie ins Stocken.
Habe zunächst [mm] v_{1} [/mm] bestimmt: [mm] v_{1}= [/mm] F - P = [mm] (-x_{0}, -y_{0}, \bruch{1}{4}-z_{0}).
[/mm]
Danach habe ich einen Normalenvektor [mm] v_{3} [/mm] gesucht und ihn über den Gradienten bestimmt: [mm] v_{3}= [/mm] grad [mm] F(x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] = [mm] (2x_{0}, 2y_{0}, [/mm] -1) bzw. [mm] (x_{0}, y_{0}, [/mm] -1/2).
Teilaufgabe a) war auch kein Problem mit dem Spatprodukt.
Nun habe ich bei Teilaufgabe b) aber einen riesigen Term stehen, wenn ich den Winkel zwischen [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] mit der üblichen Cosinus-Formel berechnen will.
Für den Winkel zwischen [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] habe ich etwas übersichtlicheres heraus:
[mm] \bruch{-1}{2*\wurzel{x_{0}^{4}+y_{0}^{4}+\bruch{1}{4}}}♦
[/mm]
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen kann, wo mein Fehler liegt, da ich selbst nicht drauf komme.
Zu c)
Hat diese Tatsache hier explizit auf einen Rotationsparaboloidenen bezogen eine besonderer Bedeutung oder worum geht es hier?
Ich habe mir den Rotationsparaboloiden mal zeichnen lassen. Meine Idee ist nun, dass sich die Strahlen (Vektoren) ja auf der z-Achse treffen, egal, von wo die Strahlen ausgehen. Sie werden also hier gebündelt, was man zb bei Lasern einsetzt. Wobei ich noch nicht ganz weiß, was ich aus der Information, dass sie mit der Normalen an R den gleichen Winkel bilden, ablesen kann.
Ich danke bereits im Voraus.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 06.06.2012 | | Autor: | weduwe |
zu teilaufgabe b) (ohne den index 0)
[mm] |\vec{v}_1|=\sqrt{x^2+y^2+(\frac{1}{4}-z)^2}=\sqrt{z+\frac{1}{16}-\frac{z}{2}+z^2}=\sqrt{(z+\frac{1}{4})^2}
[/mm]
und nun ziehe die wurzel und vergleiche mit dem zähler 
edit: nebenbei erhalte ich für den 1. winkel etwas anderes als du
[mm] cos\alpha_{23}=\frac{-1}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}} [/mm] was mit [mm] cos\alpha_{13} [/mm] übereinstimmt (siehe oben)
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Okay, der Trick war also, das z durch [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] und umgekehrt auszudrücken. Ich komme nun auch auf die richtige Lösung, vielen Dank fürs Erleuchten, weduwe 
Was kann ich nun daraus für den Aufgabenteil c) schließen? Geht mein Gedanke in die richtige Richtung, dass das heißt, dass praktisch die Vektoren, die mit [mm] v_{3} [/mm] den gleichen WInkel bilden an einem Punkt auf der z-Achse gebündelt weden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallö
alle Vektoren 0Lichtstrahlen parallel zur achse des parabol. treffen sich in f=Focus.
alle vektoren die von F ausgehen werden an der (spiegelnden Oberfläche des R so reflektiert, dass sie danach parallel zur Achse sind.
Technik: Hohlspiegel, Autoscheinwerfer, parabolantenne usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Sa 09.06.2012 | | Autor: | guitarhero |
Alles klar, danke für die Hilfe!
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