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| Aufgabe | Es ist ein Rotationsvolumen zu berechnen mit:
V = [mm] \pi\integral_{1}^{5}{((\bruch{1}{4}x^{3}-3x^{2}+9x)^{2}) dx}
[/mm]
Die Stammfunktion lautet also:
F(x) = [mm] \bruch{1}{112}x^{6}-\bruch{3}{2}x^{5}+\bruch{27}{10}x^{5}-\bruch{27}{2}x^{4}+27x^{3}
[/mm]
V = [mm] \pi(\bruch{18625}{112}-\bruch{8937}{560})
[/mm]
Das Volumen beträgt somit:
V [mm] \approx [/mm] 472.294 VE
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Meine Frage ist wie kann man die Grenzen bestimmen wenn das Volumen des Rotationskörpers nur [mm] \bruch{3}{4} [/mm] betragen soll? Als Ansatz habe ich die untere Grenze auf 1 belassen und die obere noch offen b.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
zunächst einmal ist die bei der Bildung der Stammfunktion ein kleiner Fehler unterlaufen, vermutlich vielmehr schon vorher beim Auflösen der Doppelklammer (beachte: nichte einfach alle Potenzen um zwei erhöhen, sondern schön der Reihe nach ausmultiplizieren), oder aber du hast dich bei der Eingabe hier vertippt:
f(x) = [mm] (\bruch{1}{4}x^{3}-3x^{2}+9x)^{2}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{4}x^{3}-3x^{2}+9x) \* (\bruch{1}{4}x^{3}-3x^{2}+9x)
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{6}}{16}-\bruch{3x^{5}}{2}+\bruch{27x^{4}}{2}-54x^{3}+81x^{2}
[/mm]
also folgt für die Stammfunktion
F(x)= [mm] \bruch{x^{7}}{112}-\bruch{x^{6}}{4}+\bruch{27x^{5}}{10}-\bruch{27x^{4}}{2}+27x^{3}
[/mm]
und damit für dein gesuchtes Volumen
[mm] V=\pi(F(5)-F(1))
[/mm]
[mm] =\bruch{21047\pi}{140} \approx [/mm] 472,29
(merkwürdiger Weise ist dein Ergebnis wieder richtig, aber das kam wohl auch nicht mit der Stammfunktion zustande ,-))
So nun zu deiner eigentlichen Frage:
Dein Ansatz ist schon sehr gut! Überlege dir einmal was du denn für [mm] \integral_{1}^{b}{F(x) dx} [/mm] erhälst und welche Größe das dann ist. Die Gleichung die dabei erhalten solltest, ist dann leider nicht so einfach lösbar, aber machbar, du erhälst hierraus dann dein b.
Eine andere Variante (die zwar ungenauer, aber wahrscheinlich für dich deutlich einfacher ist) wäre die Lösung der obigen Gleichung mittels Iteration: Setze einen Wert für b ein, überprüfe das Ergebnis und verändere den Wert für b solange zielgerichtet bis du V zu einer gewissen Genauigkeit erhälst.
schöne Grüße
Tobbi
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Danke für diesen Ansatz.
Soweit war das alles richtig und das hatte ich auch. Ja bei der Stammfunktion habe ich mich vertippt.
Ich bin bis zu dieser Gleichung gekommen aber wusste dann nicht weiter wie ich diese nach b auflösen konnte.
Lässt sich das Iterativ mit dem "Newtonsches Annährungsverfahren" lösen?
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