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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Mir sind die zwei Funktionen: [mm] $f(x)=x^3$ [/mm] und [mm] g(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] gegeben, sowei die Relation x=2. Berechnen sie das Volumen das der Körper bei Rotation um die x-Achse einschließt. |
Ich hab das jetzt so gemacht:
[mm] $V=\integral_0^2 [/mm] f(x) dx + [mm] \lim_{\delta \to 0} \integral_{0+\delta}^2 [/mm] g(x) dx = ... = [mm] \left[ \frac{1}{4}2^4 - \frac{1}{4}0^4 \right] [/mm] + [mm] \lim_{\delta \to 0}\left[ln(2) - ln(0+\delta) \right] [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
Ich glaube aber nicht, dass das richtig ist. Was soll ein unendlich großes Volumen bedeuten?
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Hallo bandchef,
ich denke, Du hast die Aufgabe falsch verstanden.
> Mir sind die zwei Funktionen: [mm]f(x)=x^3[/mm][/mm] und
> [mm]g(x)=\frac{1}{x}$[/mm] gegeben, sowei die Relation x=2.
> Berechnen sie das Volumen das der Körper bei Rotation um
> die x-Achse einschließt.
Die Relation lautet doch wohl [mm] x\le2, [/mm] nehme ich an.
Deine Integrationsgrenzen weisen darauf hin, dass die Relation sogar [mm] 0\le x\le2 [/mm] heißt. 
Das würde auch Sinn machen.
Nun ist erst einmal der Schnittpunkt der beiden Funktionen f(x) und g(x) zu bestimmen, der offenbar bei (1;1) liegt.
Damit kannst Du den Körper also aus zwei Teilen zusammensetzen. Im Bereich [mm] 0\le x\le1 [/mm] ist die Formel für den Rotationskörper auf die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] anzuwenden, im Bereich [mm] 1
> Ich hab das jetzt so gemacht:
>
> [mm]V=\integral_0^2 f(x) dx + \lim_{\delta \to 0} \integral_{0+\delta}^2 g(x) dx = ... = \left[ \frac{1}{4}2^4 - \frac{1}{4}0^4 \right] + \lim_{\delta \to 0}\left[ln(2) - ln(0+\delta) \right] = +\infty[/mm]
>
> Ich glaube aber nicht, dass das richtig ist. Was soll ein
> unendlich großes Volumen bedeuten?
Das stimmt schon vom Ansatz her nicht.
Du verwendest auch nicht die Formel für Rotationskörper.
Zu bestimmen ist [mm] V=\pi\left(\integral_{0}^{1}{\big(f(x)\big)^2\ dx}\ +\integral_{1}^{2}{\big(g(x)\big)^2\ dx}\right)
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Die Relation wurde wirklich mit x=2 angegeben. Woher weiß man, dass man den Schnittpunkt der beiden Funktionen angegeben muss und insbesondere woher weiß man, dass genau dieser Schnittpunkt dann einmal die Obergrenze der ersten Funktion bzw. die Untergrenze der zweiten Funktion ist?
Wenn ich das jetzt ausrechne, komm ich auf: V=2,63 (gerundet!)
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Hallo nochmal,
> Die Relation wurde wirklich mit x=2 angegeben.
Das ist ja gar keine Relation, sondern eine Identität. Es kann sich also nur um einen Fehler in der Aufgabe handeln.
> Woher weiß
> man, dass man den Schnittpunkt der beiden Funktionen
> angegeben muss und insbesondere woher weiß man, dass genau
> dieser Schnittpunkt dann einmal die Obergrenze der ersten
> Funktion bzw. die Untergrenze der zweiten Funktion ist?
Bei Rotationskörpern nimmt man normalerweise an, dass der Funktionsast, der der Rotationsachse näher liegt, um die Achse rotiert wird. Das ist allerdings keine feste Regel, sondern nur Usus. Eigentlich sollte die Aufgabe genau festlegen, welche Funktionsäste hier den Körper definieren.
Skizzier doch mal die beiden Funktionen, dann siehst Du, warum ich den Schnittpunkt so zur Unterteilung verwende, wie ichs getan habe.
> Wenn ich das jetzt ausrechne, komm ich auf: V=2,63
> (gerundet!)
Ich komme auf [mm] \tfrac{9}{14}\pi, [/mm] was nicht das gleiche ist, auch nicht gerundet.
Rechne nochmal nach, und wenns nicht klappt, dann rechne es mal vor.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 06.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dieses Integral gelöst:
[mm] $\pi \cdot \integral_0^1 (x^3)^2dx [/mm] + [mm] \pi \cdot \integral_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 [/mm] dx = ... = [mm] \frac{1}{7}\pi+ \left(-\frac{1}{2}\right)\pi$
[/mm]
Es heißt ja Obergrenze - Untergrenze. Weswegen ich hier auf das Vorzeichen vorm dem einhalb komme... Was aber anscheinend falsch ist!
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Hallo,
> Ich hab dieses Integral gelöst:
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> [mm]\pi \cdot \integral_0^1 (x^3)^2dx + \pi \cdot \integral_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = ... = \frac{1}{7}\pi+ \left(-\frac{1}{2}\right)\pi[/mm]
>
> Es heißt ja Obergrenze - Untergrenze. Weswegen ich hier
> auf das Vorzeichen vorm dem einhalb komme... Was aber
> anscheinend falsch ist!
Wenn es richtig wäre, würde der zweite Teil des Rotationskörpers mit einem negativen Volumen zu Buche schlagen. Das kann nicht sein.
Hier wäre sogar das gesamte Ergebnis negativ!
Schauen wir mal nur das rechte Integral an, ohne den Faktor [mm] \pi.
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{\left(\bruch{1}{x}\right)^2\ dx}=\integral_{1}^{2}{x^{-2}\ dx}=\left[\red{-}x^{-1}\right]_{1}^{2}=-\bruch{1}{2}-\left(-\bruch{1}{1}\right)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich nehme an, Du hast nur beim Integrieren das hier rot markierte Minuszeichen vergessen, oder?
Grüße
reverend
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