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| Aufgabe | | Begründen Sie an einem selbstgewaählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig dasselbe rotationsvolumen haben. |
Hallo,
also ich habe mir dazu folgendes überlegt:
Nehmen wir als Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^3
[/mm]
Im Intervall von [0;1] schließt f(x) einen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Fe großen Flächeninhalt mit der x-Achse ein, [mm] x^3 [/mm] tut dies im intervall [0;1,08] z.B..
Meine Begründung ist nun, dass [mm] x^3 [/mm] quasi nicht so "dick" ist wie [mm] x^2 [/mm] und sich daher die höhe ändert bzw auch die querschnittsfläche. Und da ein Volumen immer von der "höhe" abhängt, ist es bei [mm] x^3 [/mm] kleiner. Kommt mir ein bisschen wenig vor.
Hat jemand eine Idee wie man das eloquenter begründen kann?
Danke schonmal,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 19.04.2009 | | Autor: | benkes |
| Aufgabe | | Begründen Sie an einem selbstgewählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig denselben Flächeninhalt einschließen. |
Müsste die Aufgabe nicht
Begründen Sie an einem selbstgewählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig dasselbe Rotationsvolumen haben.
lauten??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 So 19.04.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
danke für die mitteilung, habe ich geändert.
schönen sonntag
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo exeqter!
Meines Erachtens heißt hier "begründen", dass Du einfach von beiden Flächen das entsprechende Rotationsvolumen berechnen sollst und anschließend vergleichen.
Wende also auf beide gewählte Funktionen die entsprechende Formel an:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{f^2(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Du hast falsch gerundet: bei der 2. Funktion muss die obere Grenze lauten:
[mm] $$x_2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[4]{\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ 1{,}074569932... \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] 1{,}0\red{7}$$
[/mm]
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hallo,
dem ist leider nicht so. Es wurde im Erwartungshorizont (das ist eine Abituraufgabe aus dem Jahr 2008 Niedersachsen, Aufgabe 1A Nachschreibtermin erhöhtes Anforderungsniveau). Und dort wird gefordert die Lage der Graphen zur x-Achse und damit die sich unterscheidenden Rotationsvolumina zu begründen.
Berechnet habe ich die Volumen nun, aber warum sind sie nun nicht gleich ? eben wegen dieser "dicke" oder auch "höhe", wie man es auch nennen möchte?
lg
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Hallo,
vielleicht hilft es ja, ein Quadrat mit Seitenlänge 1 cm zu nehmen: einmal liegt es auf der x-Achse, ein anderes mal z. B. 5 cm darüber.
[mm] $V_{x1}=\pi*\int_{0}^1(1)^2\;dx=\pi[x]_{0}^1=\pi cm^3$
[/mm]
[mm] $V_{x1}=\pi*\int_{0}^1(6)^2-(5)^2\;dx=\pi[11x]_{0}^1=11\pi cm^3$
[/mm]
Da ist es doch evident, das mit steigendem Abstand von der x-Achse das Volumen des Rotationskörpers steigt.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 20.04.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
danke dür deine anschauliche erklärung.
lg
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