Roulette: keine Zahl mehrfach < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Sa 29.10.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Aufgabe auf keinem anderem Forum gestellt.
Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 Runden des Roulettespiels (37 gleichwahrscheinliche Zahlen) mindestens eine Zahl mehr als einmal aufgetreten ist?"
Zunächst habe ich mir überlegt, dass es wohl einfach sein wird das Gegenteil zu berechnen, also wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass 8 verschiedene Zahlen auftreten.
Mein Ansatz ist, die günstigen Kombination hierfür durch alle möglichen Kombinationen zu teilen. Letzteres ist wohl einfach [mm] 37^{8}, [/mm] da es für jede Runde 37 mögliche Ergebnise gibt.
Aber die günstigen Ergebnisse bereiten mir Probleme...
Ich dachte zuerst, ich könnte es ganz einfach wie das Lotto-Problem betrachten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 8 aus 37 zu ziehen?
Na klar, [mm] \vektor{37 \\ 8}!
[/mm]
Wenn ich nun dass durch die Gesamtanzahl teile, und von 1 abziehe, hätte das Orginialereignis eine Wahrscheinlichkeit von fast 1!
Das erscheint mir als falsch.
Also überlegte ich mir, das ich vielleicht für die günstigen Ereignisse annehmen könnte, das es für die erste Runde 37 Möglichkeiten gibt, für die zweite 36, usw.
Das wären dann [mm] \bruch{37!}{29!} [/mm] Möglichkeiten und ich käme beim Originalereignis auf 0.56, was wesentlich realistischer aussieht.
Was mir nun nicht klar ist: Was ist an meinem ersten Gedankengang falsch?
Weshalb muss ich hier den zweiten Weg (sollte er denn stimmen) nehmen?
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Hi, Tobias,
> "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 8 Runden
> des Roulettespiels (37 gleichwahrscheinliche Zahlen)
> mindestens eine Zahl mehr als einmal aufgetreten ist?"
>
> Zunächst habe ich mir überlegt, dass es wohl einfach sein
> wird das Gegenteil zu berechnen, also wie gross die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass 8 verschiedene Zahlen
> auftreten.
>
> Mein Ansatz ist, die günstigen Kombination hierfür durch
> alle möglichen Kombinationen zu teilen. Letzteres ist wohl
> einfach [mm]37^{8},[/mm] da es für jede Runde 37 mögliche Ergebnise
> gibt.
Und nun zum Gegenereignis Deines oben gegebenen Ereignisses:
Keine der ermittelten Zahlen kam mehr als einmal:
Alle 8 Zahlen waren verschieden!
Die erste Zahl ist noch beliebig: 37 Möglichkeiten;
dieselbe soll aber beim zweiten Spiel nicht mehr kommen: 36 Mögl.;
beim dritten Mal nur noch 35 Mögl. usw.
Daher gibt's insgesamt 37*36*35*34*33*32*31*30 Möglichkeiten,
also [mm] \bruch{37!}{(37-8)!} [/mm] Stück.
Reicht Dir das als Hinweis?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Sa 29.10.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Zielst Du vielleicht auf die Reihenfolge ab?
Bei dem zweiten Weg den ich oben angegeben hatte, und wie Du ihn nochmal beschrieben hast, habe ich genau den gleichen Gedankengang wie Du verfolgt.
Das ist ja auch fast schon der Binomialkoeffizient, es fehlt ja nur der Unterschied von [mm] \bruch{1}{8!}. [/mm]
Beschreibt der nocheinmal die Variationen der Anordnung der 8 Zahlen die wir gezogen haben, und fällt das dann bei der Aufgabe hier weg weil...okay, gute Frage, ich weiss nicht warum diese wegfallen sollte, heh.
Vielleicht weil wir bei der Multiplikation von 37*36* ... *30 schon davon ausgehen, das diese beliebig sind?
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Hi, Tobias,
> Zielst Du vielleicht auf die Reihenfolge ab?
Eben nicht!
> Bei dem zweiten Weg den ich oben angegeben hatte, und wie
> Du ihn nochmal beschrieben hast, habe ich genau den
> gleichen Gedankengang wie Du verfolgt.
> Das ist ja auch fast schon der Binomialkoeffizient, es
> fehlt ja nur der Unterschied von [mm]\bruch{1}{8!}.[/mm]
> Beschreibt der nocheinmal die Variationen der Anordnung der
> 8 Zahlen die wir gezogen haben, und fällt das dann bei der
> Aufgabe hier weg weil...okay, gute Frage, ich weiss nicht
> warum diese wegfallen sollte, heh.
> Vielleicht weil wir bei der Multiplikation von 37*36* ...
> *30 schon davon ausgehen, das diese beliebig sind?
Ich denke: ja!
Die erste ist völlig beliebig (37 Möglichkeiten);
die zweite FAST beliebig: sie darf nur nicht gleich der ersten sein; usw.
Ich weiß nicht, ob Dir diese Antwort schon hilft!
mfG!
Zwerglein
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