Rücktransf.: Faltung Heaviside < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Fr 04.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
| Aufgabe | | Löse die Anfangswertaufgabe x''(t) + x'(t) = [mm] e^{T-t} [/mm] * H(t-T) , T>0, wobei H(t) die Heaviside-Fkt. ist, mit Hilfe der Laplace-Transformation |
Bei der Lösung dieser Aufgabe schaffe ich lediglich die Rücktransormation aus dem Bildbereich nicht. Ich habe bis dahin folgendes:
x(t) = [mm] f_{1}(t)\* f_{2}(t)+ f_{3}(t)
[/mm]
mit [mm] f_{1}(t)=H(t-T)
[/mm]
[mm] f_{2}(t)=t*e^{-t}
[/mm]
[mm] f_{3}(t)=H(t)
[/mm]
Ich muss jetzt also nurnoch die Faltung von [mm] f_{1}(t) [/mm] und [mm] f_{2}(t) [/mm] hinbekommen. Das funktioniert allerdings nicht, weil ich nicht weiß, wie ich da im Integral die Heaviside-Fkt. behandeln soll. Könnt ihr mir einen Tip geben?
Die Faltung müsste ja eigentlich hiermit gehen oder? :
[mm] \integral_{0}^{t}{H(u-T)*(t-u)*e^{-(t-u)} du}
[/mm]
Mein Vorgehen wäre jetzt:
1. Das Integral in zwei Teilintegrale aufteilen mit Teilbereichen einmal von 0 bis T und einmal von T bis t.
2. Weil die Heaviside Fkt. bis zum Zeitpunkt T gleich null ist, ist das erste Teilintegral auch gleich null und es bleibt nurnoch das zweite Integral übrig.
3. Weil die Heaviside Funktion nun hier gleich eins ist, ersetze ich sie einfach mit 1 und habe nurnoch das folgende Integral übrig:
[mm] \integral_{T}^{t}{(t-u)*e^{-(t-u)} du}
[/mm]
Stimmts soweit?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo The_Wu,
wo sind denn Deine Ergebnisse im Bildbereich, die Du nicht rücktransformieren kannst? Ich sehe nur Ausdrücke im Zeitbereich und das entspricht ja nicht der Aufgabenstellung. Due Faltung im Zeitbereich wird zu einer Multiplikation im Bildbereich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 05.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
Achsooo, stimmt, da habe ich mich falsch ausgedrückt :)
Also ich habe eine Multiplikation im Bildbereich und die wird dann doch zu einer Faltung mit dem oben angebenen Integral im Zeitbereich?
Also meine Funktionen [mm] f_{1}(t), f_{2}(t) [/mm] und [mm] f_{3}(t) [/mm] sind schon rücktransformiert. Aber um die Lösung x(t) im Zeitbereich zu finden, muss ich ja noch die Faltung von [mm] f_{1}(t) [/mm] und [mm] f_{2}(t) [/mm] durchführen... Jetzt besser verständlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Sa 05.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
| Aufgabe | | Faltung von [mm] f_{1}(t) [/mm] und [mm] f_{2}(t) [/mm] |
Sorry, ich habe ausversehen als Mitteilung geantwortet, also ich hätte sehr gern noch eine Reaktion :)
Liegt mein Fehler vielleicht darin, dass [mm] f_{2}(t)=t*e^{-t} [/mm] aus den zwei Funktionen t und [mm] e^{-t} [/mm] besteht und ich deswegen eigentlich zweimal falten müsste?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mr_Wu,
Deine Angaben zu den Funktionen im Zeitbereich stimmen nicht mit dem überein, was in der ersten Gleichung steht, denn da steht bei der e-Funktion [mm] e^{(T-t) [/mm]. Ich weiß jetzt nicht, was richtig ist, aber für die Faltung genügt es, eine der beiden Funktionen (hier bietet sich die e-Funktion an) an der t-Achse zu spiegeln und so wird mit u als Laufvariable und der Substitution t-u aus
[mm] f_2(t) = t \cdot e^{-t} [/mm] der Ausdruck
[mm] f_2(t-u) = (t-u) \cdot e^{-(t-u)} [/mm]
Die Heavisidefunktion ist gleich Null für u Werte kleiner als T und dann bekommt man
[mm] \int_T^t (t-u) \cdot e^{(t-u)}\, du [/mm]
Soweit ist also Deine Rechnung okay.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 05.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
Ok, dann lös ich mal das Integral:
[mm] \integral_{T}^{t}{(t-u)*e^{-(t-u)} du}=\integral_{T}^{t}{(t-u)*e^{-t}*e^{u} du}=e^{-t}*\integral_{T}^{t}{t*e^{u}-u*e^{u} du}
[/mm]
[mm] =e^{-t}*\integral_{T}^{t}{t*e^{u}du}-e^{-t}*\integral_{T}^{t}{u*e^{u} du}=e^{-t}*[e^{u}]_{T}^{t}-e^{-t}*[u*e^{u}]_{T}^{t}+e^{-t}*\integral_{T}^{t}{e^{u} du}
[/mm]
[mm] =e^{-t}*[e^{u}]_{T}^{t}-e^{-t}*[u*e^{u}]_{T}^{t}+e^{-t}*[e^{u}]_{T}^{t}
[/mm]
[mm] =2*e^{-t}*[e^{u}]_{T}^{t}-e^{-t}*[u*e^{u}]_{T}^{t}
[/mm]
[mm] =2*e^{-t}*(e^{t}-e^{T})-e^{-t}*(t*e^{t}-T*e^{T})
[/mm]
[mm] =2-2*e^{-t}*e^{T}-t+T*e^{-t}*e^{T}
[/mm]
[mm] =2-2*e^{T-t}-t+T*e^{T-t}
[/mm]
Das wäre dann mein Ergebnis für die Faltung von f1 und f2. Insgesamt würde sich dann für x(t) ergeben:
x(t) = [mm] f_{1}(t)\*f_{2}(t)+f_{3}(t)
[/mm]
= [mm] 2-2*e^{T-t}-t+T*e^{T-t}+H(t)
[/mm]
Das Problem ist aber, die Musterlösung sagt:
x(t) = [mm] f_{1}(t)\*f_{2}(t)+f_{3}(t)
[/mm]
[mm] =(1+(T-t-1)*e^{T-t})*H(t-T)+H(t)
[/mm]
Ich finde meinen Fehler einfach nicht :(
Wär cool wenn dir Infinit oder jemand anders auffällt, was ich falsch mache!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei der Integraton ist einmal ein t verlorengegangen und ein Vorzeichen wurde verdreht:
[mm] e^{-t}\cdot{}\integral_{T}^{t}{t\cdot{}e^{u}du}-e^{-t}\cdot{}\integral_{T}^{t}{u\cdot{}e^{u} du}=e^{-t}\cdot{}t \cdot [e^{u}]_{T}^{t}-e^{-t}\cdot{}[(u-1)\cdot{}e^{u}]_{T}^{t} [/mm]
Das ergibt dann weiter
[mm] e^{-t} \cdot t \cdot(e^t - e^T) - e^{-t}\cdot \[ (t-1) \cdot e^t + e^{-t} \cdot (T-1) e^T [/mm]
Weiter zusammenfassen liefert
[mm] t - t \cdot e^{T-t} - (t-1) + e^{T-t} (T-1) [/mm] oder auch
[mm] 1 + e^{T-t} (T-1-t) [/mm] und das enspricht Deinem ersten Multiplikator in der Musterlösung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 05.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
| Aufgabe | | Woher kommt dann noch die Multiplikation mit H(t-T) in der Musterlösung? |
Ha! Tatsache! Hab die Aufgabe bestimmt 5 mal durchgerechnet und jedes mal den gleichen Flüchtigkeitsfehler gemacht :D Vielen Dank Infinit! :)
Stellt sich mir jetzt nurnoch die Frage, woher die Multiplikation mit H(t-T) in der Musterlösung kommt...
Ne Idee?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo The_Wu,
da gibt es unterschiedliche Schreibweisen. Aus der Faltung heraus haben wir ja gesehen, dass dies ganze erst Sinn macht für Werte von t, die größer als T sind. Wenn man nur den Ausdruck aus der Integration nimmt, könnte man für t beliebige Werte einsetzen, was allerdings nicht erlaubt wäre. Um hier den Lösungsbereich klarzumachen, wurde diese Schreibweise gewählt.
In alten Zeiten, zu meiner Studienzeit vor gut 30 Jahren, hat man dies einfach textuell ausgedrückt, indem man dazu schrieb " für t > T". Das sieht natürlich nicht so schick aus wie diese Schreibweise.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Sa 05.04.2014 | | Autor: | The_Wu |
Super! vielen Dank Infinit für die tolle schnelle Hilfe!
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