Rund um das Integral von exp(-x^2) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:42 Do 01.07.2004 | | Autor: | zarathustra |
Hallo Forum !
Ich habe folgendes Problem und komme nicht weiter:
Definitionen:
$f(x, a) := [mm] exp(-a*(1+x^2)) /(1+x^2) [/mm] $ !!!!!!!!!!! Korrektur !!!!!!!!!!!
[mm] $x\in \IR [/mm] , a > 0 $
[mm] F(a) := \integral_{0}^{\infty} f(x,a) dx [/mm]
[mm] G(R) := \integral_{0}^{R} exp(-x^2) dx [/mm]
[mm] a, R >= 0 [/mm]
Zu zeigen ist nun:
[mm] F(R) - F(e) = \integral_{e}^{R} F'(a) da [/mm]
[mm] = -2(G(\wurzel{R}) - G(\wurzel{e})) \limes_{R \to \infty} G(R) [/mm]
Hierbei folgt die erste Gleichheit aus dem Hauptsatz, die zweite ist mir absolut unklar. Insbesondere wo die Wurzelterme herkommen (ich vermute Substitution, aber praktisch sehe ich das nicht).
Wenn man die Definitionen einsetzt, die Ableitung aus dem Integral zieht, dann beide Integrale vertauscht und wieder den Hauptsatz anwendet führt mich das auf:
[mm] \integral_{e}^{R} F'(a) da = \integral_{o}^{\infty} (f(x,R) - f(x,e) ) dx[/mm]
Wobei ich mir nicht 100%ig sicher bin, ob ich alle Schritte so ausführen darf.
Wie geht es dann weiter?
Hat man obige Gleichung gezeigt, dann soll man folgendes folgern:
[mm] \wurzel{PI} / 2 = \limes_{R \to \infty} G(R) [/mm]
Hierzu habe ich gar keine Idee.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen -
Wünsche einen schönen Abend!
Markus
P.S.: man sollte definitiv tech können, damit man nicht den ganzen tag daran sitzt eine frage zu stellen :)... aber ich lern ja noch
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hi.
Ich habe ein bisschen über deine Aufgabe nachgedacht und bin gerade ein bisschen verwirrt:
[mm] $F(R)-F(e)=\int_0^{\infty}\exp(-R(1+x^2))dx-\int_0^{\infty}\exp(-e(1+x^2))dx$ [/mm]
[mm] $=\exp(-R)\int_0^{\infty}\exp(-(\sqrt{R}x)^2))dx-\exp(-e)\int_0^{\infty}\exp(-(\sqrt{e}x)^2))dx$
[/mm]
Beim ersten Integral Substitution [mm] $\sqrt{R}x=z_1$ [/mm] und beim 2. [mm] $\sqrt{e}x=z_2$, [/mm] sowie ändern der Grenzen und anschließende Umbenennung der Integrationsvariablen führt auf
[mm] $F(R)-F(e)=(\frac{\exp(-R)}{\sqrt{R}}-\frac{\exp(-e)}{\sqrt{e}})\int_0^{\infty}\exp(-z^2)dz=(\frac{\exp(-R)}{\sqrt{R}}-\frac{\exp(-e)}{\sqrt{e}})\lim\limits_{R\to\infty}G(R)$
[/mm]
und das ist ja jetzt doch etwas ziemlich anderes als das, was dort angegeben ist und ich bin mir auch ziemlich sicher, dass die Ausdrücke nicht übereinstimmen können, das würde ja
[mm] $\frac{\exp(-R)}{\sqrt{R}}-\frac{\exp(-e)}{\sqrt{e}}=-2(G(\sqrt{R})-G(\sqrt{e}))$ [/mm] bedeuten, was nicht sein kann.
Ich habe jetzt schon ein paarmal nachgerechnet und finde keinen Fehler, hast du dich vielleicht bei der Aufgabe verschrieben.
Ich hoffe mal, dass ich nicht einfach Schwachsinn gerechnet habe.
Gruß
Philipp
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
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Hallo Philipp!
Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast!
Ich muß mich tausendfach entschuldigen, aber ich war einfach zu blöde die Aufgabe richtig abzuschreiben.... Die korrigierte Fassung steht jetzt online ( ich habe ein sehr wichtiges 1/ [mm] (1+x^2) [/mm] vergessen ) .
Selbst habe ich mir bis jetzt gerade auch noch mal intensiv die Aufgabe zu Gemüte geführt und bin ein Stückchen weiter gekommen:
Mein Startpunkt war:
$ [mm] F(R)-F(e)=\int_{e}^{R} [/mm] d/da [mm] \int_{0}^{\infty} \exp(-a(1+x^2)) [/mm] / [mm] (1+x^2) [/mm] dx da $
$ = - [mm] \int_{e}^{R} \exp(-a) \int_{0}^{\infty} \exp(- (\wurzel(a)*x)^2) [/mm] dx da $ // differenziert, Integrale vertauscht und exp(-a) ausgeklammert
$= - [mm] \int_{e}^{R} \exp(-a)/\wurzel(a) [/mm] da * [mm] \int_{0}^{\infty} \exp(-x^2) [/mm] dx $ // Substitution und Integrale trennen
$ - 2( [mm] \int_{\wurzel(e)}^{\wurzel(R)} \exp(-x^2) [/mm] dx ) * [mm] \limes_{R \to \infty} [/mm] G(R)$ // erneute Substitution
was (teilweise) zu zeigen war :)...
Die weitere Behauptung, dass [mm] $\wurzel(PI) [/mm] / 2 = [mm] \limes_{R \to \infty} [/mm] G(R) $ sein soll, sehe ich allerdings immer noch nicht....
Hab diesmal alles 3 mal Korrektur gelesen - und hoffe diesmal mit Erfolg!
Einen wunderschönen Tag noch, und ein Dankeschön für die Mühen nochmals,
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Markus!
Danke für die Korrektur. Wusste ich es doch... 
Also, der Rest ist ja jetzt nicht mehr schwierig. Wir haben ja:
[mm]F(R)-F(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{R} d/da \int_{0}^{\infty} \exp(-a(1+x^2)) / (1+x^2) dx da = - 2( \int_{\wurzel(\varepsilon)}^{\wurzel(R)} \exp(-x^2) dx ) * \limes_{R \to \infty} G(R)[/mm].
Nun bilden wir auf beiden Seiten den Grenzwert [mm] $\lim\limits_{R \to \infty} \lim\limits_{\varepsilon \to 0}$.
[/mm]
Dann steht rechts:
$-2 [mm] \left( \int_0^{\infty} e^{-x^2}\, dx \right)^2$.
[/mm]
Links erhalten wir wegen:
[mm] $\lim\limits_{R \to \infty} \int_0^{\infty} \frac{e^{-R(1+x^2)}}{1+x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int_0^{\infty} \lim\limits_{R \to \infty} \frac{e^{-R(1+x^2)}}{1+x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int_0^{\infty} [/mm] 0 [mm] \, [/mm] dx = 0$
(Mach dir bitte klar, dass man Integration und Grenzwertbildung vertauschen darf! Das ist aber klar, folgt z.B. aus dem Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz.)
und wegen
[mm] $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \int_0^{\infty} \frac{e^{-\varepsilon(1+x^2)}}{1+x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int_0^{\infty} \lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{e^{-\varepsilon (1+x^2)}}{1+x^2}\, [/mm] dx = [mm] \int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, [/mm] dx = [mm] \lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}$
[/mm]
(Wieder musst du noch überlegen, warum du die Vertauschung vornehmen darfst! Wieder ist das aber trivial.)
der Ausdruck:
[mm] $-\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
Wir erhalten also nach dem Grenzübergang die Gleichheit
[mm] $-\frac{\pi}{2} [/mm] = -2 [mm] \left( \int_0^{\infty} e^{-x^2}\, dx \right)^2$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\frac{\pi}{4} [/mm] = [mm] \left( \int_0^{\infty} e^{-x^2}\, dx \right)^2$
[/mm]
und daraus schließlich:
[mm] $\int_0^{\infty} e^{-x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{\sqrt{\pi}}{2}$,
[/mm]
wie behauptet.
Viele Grüße an Herrn Prof. Sturm. Ich habe mich erst vor ein paar Monaten bei der Geburtstagsfeier von Herrn Prof. Albeverio länger mit ihm unterhalten. Er wäre allerdings sicherlich nicht glücklich darüber, dass ich hier im Internet seine Übungsaufgaben löse. (Also besser doch keine Grüße ausrichten, schließlich will ich vielleicht doch noch irgendwann mal in Bonn ![[auslach]](/images/smileys/auslach.gif "[auslach]") promovieren... )
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Danke! Meinst du ich wäre darauf gekommen, Epsilon gegen Null und R gegen unendlich zu schicken (Wobei das ja eigentlich schon aus der Namensgebung folgt - aber das ist wohl eher was für den Bereich der Mathepsychologie)...
Die Vertauschbarkeit von Limes und Integral ist mir in beiden Fällen klar, wobei ich eigentlich noch -nach Vorlesung- z.B. die gleichmäßige Konvergenz von [mm] $exp(-e(1+x^2)) [/mm] $ gegen 1 für e gegen 0 zeigen muß, aber das ist klar.
Das Geheimnis, dass du mir geholfen hast, werde ich gut für mich behalten :), damit Sturm nichts falsches denkt....
Schönen Abend noch,
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, ich bin auch der Meinung, dass hier etwas nicht stimmen kann. Kannst du die Aufgabenstellung bitte noch einmal überprüfen oder uns einen Link darauf setzen? Das wäre nett.
Ich bekomme es jedenfalls nicht hin, und das passiert mir zumindestens in Analysis auf diesem Niveau eher selten (was nicht heißen soll, dass es nicht auch mal passieren kann ).
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Ja, das kann nicht stimmen. Muß mich entschuldigen, dass ich so dreist und überflüssigerweise auch deine Zeit gestohlen habe, weil ich einfach nicht richtig abschreiben kann.
Die korrigierte Fassung steht im ersten Artikel, eine Teillösung als Antwort hab ich ebenfalls hochgeladen, nachdem ich mich noch mal rangesetzt und mit der richtigen Aufgabe gerechnet habe.
Ein Link auf die Aufgaben gibts unter http://www-wt.iam.uni-bonn.de/~sturm/de/index.html --- dann vorlesungen, analysis 2, blatt 9.
Danke für dein Verständnis,
Markus, der sich jetzt noch von der Wissenschaftsnacht erholen muß :)
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