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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), und D(3,-3,8) gegeben.
Zeichnen Sie das Viereck ABCD in das Koordinatensystem von 1b und zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Trapez ist! Berechen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes! |
Ich möchte jetzt den Flächeninhalt berechnen!
[mm] A=\bruch{1}{2}(a+c)*h
[/mm]
[mm] a=\overrightarrow{AB}= \vektor{-6 \\ 6\\0}
[/mm]
[mm] b=\overrightarrow{CD}=\vektor{3 \\ -3\\0}
[/mm]
Stimmt das?
was ist dann h?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Steffie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mi 22.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
h ist der Abstand zwischen a und c. Am besten suchst du nun einen Vektor, der orthogonal zu a und c ist und bei einem Punkt auf a anfängt und bei einem Punkt auf c endet.
(a und c sind parallel, Anregung: wie kann man das denn zeigen?)
Viele Grüße,
Markus
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Kannst du mir einen ANsatz machen?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:06 Mi 22.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Da die beiden Vektoren lin. abhängig sind, sind sie parallel.
Ich würde jetzt zwei Geradengleichungen aufstellen:
-zum einen eine Gerade, die einen Vektor, orthogonal zu [mm] \overrightarrow{AB}, [/mm] als Richtungsvektor und A als Aufpunkt hat
-zum andern eine Gerade mit C als Aufpunkt und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] als Richtungsvektor
Schnittpunkt dieser beiden Geraden sei S.
Die Höhe h ist nun die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AS}.
[/mm]
So, jetzt bist du dran... ;)
Viele Grüße,
Markus
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So jetzt bin ich dran...
Ich habe jetzt zwei Geradengleichungen aufgestellt
[mm] \vec{x}=\vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{2 \\ -2\\0}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0\\8}+s\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
Nun den Schnittpunkt:
[mm] \vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{2 \\ -2\\0}=\vektor{0 \\ 0\\8}+s\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
Kann ich das jetzt so machen?
I 6+2r=2r
II -2r=2r
III 8 =0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Bin gleich wieder da!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 22.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
In der letzten Zeile steht 0=8, eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine Lösung und dann kann etwas nicht stimmen...
Im Vektor, der orthogonal zu AB ist, muss x3 [mm] \not= [/mm] 0, sont kann es keinen Schnittpunkt geben...
Ich glaube, man muss doch eine Ebene verwenden, die AB als Normalenvektor hat und A als Aufpunkt. Die Gerade sollte diese Ebene dann in S schneiden und die Höhe ist dann die Länge von AS.
Probier's mal damit...
Ich selbst muss jetzt weg, also kann ich dir leider erst wieder morgen helfen :(
Aber jetzt müsste die Rechnung mit dem beschriebenen Verfahren eigentlich aufgehen...
Viele Grüße,
Markus
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Ich habe jetzt zwei Geradengleichungen aufgestellt
[mm] \vec{x}=\vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{2 \\ -2\\0}
[/mm]
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0\\8}+s\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
Nun den Schnittpunkt:
[mm] \vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{2 \\ -2\\0}=\vektor{0 \\ 0\\8}+s\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
Kann ich das jetzt so machen?
I 6+2r=2s
II -2r=2s
III 8 =0
6=4s
8=0
14=4s
s=3,5 in I
6+2r= 7
r=0,5
und dann?
Kann mir jemand helfen?
Gruß STeffie
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 18:29 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Versuch' die Aufgabe so zu lösen, wie ich es dir in meiner letzten Antwort beschrieben habe:
- Erstelle eine Ebenengleichung der Ebene E mit A als Aufpunkt und [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] als Normalenvektor.
- Erstelle eine Geradengleichung g mit C als Aufpunkt und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] als Richtungsvektor.
- Bestimme den Schnittpunkt S von g mit E.
- Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun der Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AS}.
[/mm]
Jetzt darfst du mal loslegen mit dem Rechnen...
Viele Grüße,
Markus
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Kurze Frage:
A(6,0,0)
B(0,6,0)
C(0,0,8)
D(3,-3,8)
Ebene E: [mm] \vec{x}= \vektor{6 \\ 0\\0}+r????+s\vektor{-6 \\ 6\\0}
[/mm]
Stimmt das? Weiß nicht was der andere Richtungsvektor ist!
Gerade g: [mm] \vektor{0 \\ 0\\8}+r\vektor{3 \\ -3\\0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Stelle E in Normalenform auf! Dann hast du [mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ 0} [/mm] als Normalenvektor und A als Aufpunkt.
Die Geradengleichung stimmt schonmal, :)
aber du schreibst es in Klausuren besser so auf: $g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 8} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ -3 \\ 0}$
[/mm]
Viele Grüße,
Markus
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[mm] E:[\vec{x}-\vektor{6 \\ 0\\0}]*\vektor{-6 \\ 6\\0}\green{=0} [/mm] [edit informix]
$g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 8} [/mm] + [mm] r*\vektor{3 \\ -3 \\ 0}$ [/mm]
Aber um den Schnittpunkt berechnen zu können muss E doch in Parameter oder Koordinatenform sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ja, die Normalenform lässt sich leicht in die Koordinatenform umwandeln und dann kannst du den Schnittpunkt bestimmen!
Viele Grüße,
Markus
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also ich habe wie folgt gerechnet:
E: [mm] \vec{x}= [/mm] -6x+6y=-36
g: [mm] \vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\8}+r\vektor{3 \\ -3\\0}
[/mm]
x= 0+3r
y=0-3r
z= 8+0r
in E
18r-18r=-36
r=1
in g
S(3,-3,8)
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Der Schnittpunkt stimmt. Zwei Tippfehler habe ich korrigiert... ;)
Jetzt noch die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ausrechnen, dann hast du die Höhe h.
Viele Grüße,
Markus
> also ich habe wie folgt gerechnet:
E: = -6x+6y=-36 !!!
>
> g: [mm]\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\8}+r\vektor{3 \\ -3\\0}[/mm]
>
> x= 0+3r
> y=0-3r
> z= 8+0r
> in E
>
-18r-18r=-36 !!!
> r=1
> in g
>
> S(3,-3,8)
> Richtig?
>
>
>
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Die Länge des [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist [mm] \wurzel{72} [/mm] und das ist die Höhe h?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ich hab' mich verschrieben, du musst natürlich die Länge des Vektors [mm] \vec{AS} [/mm] ausrechnen. [sonst hättest du S ja gar nicht ausrechnen müssen... ;)]
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Hab mich schon gewundert
also die Länge von [mm] \overrightarrow{AS}
[/mm]
A= (6,0,0)
S= (3,-3,8)
Die Länge des [mm] \overrightarrow{AS}= \wurzel{73}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Tja, da habe ich schneller getippt als gedacht...
Ich komme auf folgendes:
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\-3\\8}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{AS}|
[/mm]
= [mm] \wurzel{(-3)^{2} + (-3)^{2} + (8)^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{9 + 9 + 64}
[/mm]
= [mm] \wurzel{82}
[/mm]
Überprüf' nochmal deinen Rechenweg...
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[mm] A=\bruch{1}{2}(a+c)h
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{90}*\wurzel{82}
[/mm]
=42,95
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Hallo Steffie90,
> [mm]A=\bruch{1}{2}(a+c)h[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{90}*\wurzel{82}[/mm]
>
> =42,95
nicht die schnelle Antwort ist nützlich, sondern dass du Markus' und meine Tipps beherzigst und vor allem nachvollziehst.
Aus falschen Zwischenergebnissen wirst du nie zum richtigen Endergebnis kommen.
Gruß informix
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Das hatte ich schon gerechnet bevor ein Fehler aufgetreten ist!
hab jetzt wie folgt gerechnet:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{-6 \\ 6\\0}
[/mm]
E: [mm] [\vec{x}-\vektor{0 \\ 0\\8}]*\vektor{-6 \\ 6\\0}
[/mm]
E: [mm] \vec{x}= [/mm] -6x+6y=0
x=6-6r
y= 6r
z= 0
in E
-36+36r+36r=0
r=0,5
in g
S(3,3,0)
Richtig?
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Hallo Steffie90,
> Das hatte ich schon gerechnet bevor ein Fehler aufgetreten
> ist!
>
> hab jetzt wie folgt gerechnet:
>
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{6 \\ 0\\0}+r\vektor{-6 \\ 6\\0}[/mm]
>
> E: [mm][\vec{x}-\vektor{0 \\ 0\\8}]*\vektor{-6 \\ 6\\0}[/mm]
>
> E: [mm]\vec{x}=[/mm] -6x+6y=0
>
> x=6-6r
> y= 6r
> z= 0
> in E
>
> -36+36r+36r=0
> r=0,5
> in g
>
> S(3,3,0)
> Richtig?
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") das habe ich auch!
Berechnest du jetzt die Höhe des Trapez?
Gruß informix
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S(3,3,0)
[mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-3 \\ 3\\0}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{AS}|= \wurzel{18}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}(a+c)*h
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{2}*\wurzel{90}*\wurzel{18}
[/mm]
=20,125
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Also, falls ich nicht wieder irgendeinen dummen Fehler mache, komme ich auf folgendes:
a = [mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] = [mm] \wurzel{72}
[/mm]
c = [mm] |\overrightarrow{CD}| [/mm] = [mm] \wurzel{18}
[/mm]
h = [mm] \wurzel{18}
[/mm]
also
A = [mm] 0,5*(\wurzel{72} [/mm] + [mm] \wurzel{18})*\wurzel{18}
[/mm]
= [mm] 0,5*(6*\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{18})*\wurzel{18}
[/mm]
= 0,5*(6*6 + 18)
= 27 Flächeneinheiten(FE)
Viele Grüße,
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 23.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Ich denke du hattest Recht!
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!!!
Alleine wäre ich nie soweit gekommen!
Aber wir haben noch ein Problem Aufgabe 1c!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Wir können morgen gerne weitermachen, aber heute habe ich erstmal genug und muss mich von meinem dummen Leichtsinnsfehler erholen...
:*
Viele Grüße,
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo Steffie90,
> also ich habe wie folgt gerechnet:
> E: [mm]\vec{x}=[/mm] -6x+6y=-36
>
> g: [mm]\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\8}+r\vektor{3 \\ -3\\0}[/mm]
Das ist die Gerade g(C,D), die die obere Trapezseite enthält.
>
> x= 0+3r
> y=0-3r
> z= 8+0r
> in E
>
> 18r-18r=-36
> r=1
> in g
>
> S(3,-3,8)
> Richtig?
Irgendwas stimmt an deiner Rechnung nicht: dann wäre S = D und das kann nicht der Fußpunkt des Lots von C auf die Gerade g(A,B) sein, oder?
@MarkusF: hast du diesen Punkt selbst auch berechnet?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
In meiner Rechnung gibt es gerade keine Lösung... :(
Da kommt: 0 = 36
Irgendwo muss ein Fehler sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Do 23.10.2008 | | Autor: | Steffie90 |
Hallo informix
Du weist doch wo wir uns verrechnet haben, bitte sag es uns!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Irgendwas kann nicht mit der Ebenengleichung stimmen: Nach dieser läge auch B auf E!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo Steffie90,
> Hallo informix
>
> Du weist doch wo wir uns verrechnet haben, bitte sag es
> uns!
bin schon dabei... 
Aber Ihr müsst schon die Ansätze lesen, die ich in den Korrekturmitteilungen geschrieben habe.
Macht Euch (auf Papier) eine Zeichnung des Trapez (wie meine hier im Forum),
schreibt alle gegebenen und berechneten Punkte auf,
dazu die Geraden- und Ebenengleichungen mit der "sprechenden" Notation:
g(A,B) ist die Gerade durch A und B, ...
und dann berechnet den Schnittpunkt von g(A,B) und [mm] E(C,\perp \overright{AB})
[/mm]
Gruß informix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ich komme einfach nicht auf die Lösung, irgendwo übersehe ich einen Fehler. Hier mein Rechenweg:
[mm] E(C,\perp [/mm] AB) : [mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0\\0\\8} [/mm] ] * [mm] \vektor{6\\6\\0} [/mm] = 0
g(A,B) : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6\\0\\0} [/mm] + [mm] t*\vektor{-6\\6\\0}
[/mm]
Umwandeln von E in Koordinatenform:
E: [mm] 6x_{1} [/mm] + [mm] 6x_{2} [/mm] = 0
Einsetzen von g in E:
6(6-6t) + 6(6t) = 0
36 = 0
Es existiert danach keine Lösung.
Ich hoffe, du siehst meinen Fehler...
Viele Grüße,
Markus
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Meiner Meinung nach ist der Fehler bei Ebene E der Normalenvektor!
> [mm]E(C,\perp[/mm] AB) : [mm][\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{0\\0\\8}[/mm] ] * [mm]\vektor{-6\\6\\0}[/mm] = 0
> g(A,B) : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{6\\0\\0}[/mm] + [mm]t*\vektor{-6\\6\\0}[/mm]
> Umwandeln von E in Koordinatenform:
> E: [mm]6x_{1}[/mm] + [mm]6x_{2}[/mm] = 0
> Einsetzen von g in E:
> -6(6-6t) + 6(6t) = 0
> 72r = 36
r=0,5
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Oooooooooooooooooooooooh nein!!!!!!!!
Ich habe die ganze Zeit einen Denkfehler gemacht!!!
AB ist der Normalenvektor (orthogonal zu E), aber ich habe immer eine Orthogonale von AB als Normalenvektor von E genommen.
Mea culpa!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:08 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo MarkusF,
> Versuch' die Aufgabe so zu lösen, wie ich es dir in meiner
> letzten Antwort beschrieben habe:
> - Erstelle eine Ebenengleichung der Ebene E mit A als
> Aufpunkt und [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] als Normalenvektor.
das ist immer noch falsch, siehe meine erste Korrekturmitteilung.
> - Erstelle eine Geradengleichung g mit C als Aufpunkt und
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] als Richtungsvektor.
> - Bestimme den Schnittpunkt S von g mit E.
> - Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun der Länge
> des Vektors [mm]\overrightarrow{AS}.[/mm]
> Jetzt darfst du mal loslegen mit dem Rechnen...
>
> Viele Grüße,
> Markus
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Wenn ich C als Aufpunkt für E nehme, dann schneidet g E in C...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo MarkusF,
> Wenn ich C als Aufpunkt für E nehme, dann schneidet g E in
> C...
Sind wir uns über die Bezeichnungen einig?
g ist die Gerade durch A und B (bei mir...).
Gruß informix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
g war bei uns bisjetzt die Gerade durch C und D... Wenn man g als Gerade durch A und B nimmt, muss C natürlich der Aufpunkt für E sein!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo MarkusF,
> g war bei uns bisjetzt die Gerade durch C und D... Wenn man
> g als Gerade durch A und B nimmt, muss C natürlich der
> Aufpunkt für E sein!
Um solche Missverständinisse zu vermeiden, schreibe ich immer: g(C,D): [mm] \vec{x}=...
[/mm]
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Vielen Dank für den Hinweis!
Viele Grüße,
Markus
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:00 Do 23.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo MarkusF,
> Da die beiden Vektoren lin. abhängig sind, sind sie
> parallel.
> Ich würde jetzt zwei Geradengleichungen aufstellen:
> -zum einen eine Gerade, die einen Vektor, orthogonal zu
> [mm]\overrightarrow{AB},[/mm] als Richtungsvektor und A als Aufpunkt hat
Zu einer Geraden gibt es "Millionen" orthogonale Richtungsvektoren! Damit kommt man nicht weiter.
Reden wir eigentlich vom selben Trapez?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du eine zu [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] orthogonale Ebene an C aufgehängt hättest und dann den Durchstoßpunkt von g durch diese Ebene berechnet hättest, wär's wohl hingekommen.
> -zum andern eine Gerade mit C als Aufpunkt und
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] als Richtungsvektor
> Schnittpunkt dieser beiden Geraden sei S.
> Die Höhe h ist nun die Länge des Vektors
> [mm]\overrightarrow{AS}.[/mm]
Gesucht ist die Länge der gestrichelten Strecke.
Sind wir uns darin einig?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Do 23.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ja, dieser Ansatz ist falsch, mittlerweile habe ich den korrekten Ansatz im weiteren Diskussionsstrang erläutert...
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![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
windschief![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
