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| Aufgabe | (a) Geben Sie an, wie der Bruch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] gemäß IEEE 754 als binäre 32-Bit Gleitkommazahl (single precision) dargestellt wird. Vorausgesetzt wird exakte Rundung nach IEEE 754 - Standard ("round to nearest even").
(b) Welcher Bruch entspricht umgekehrt dieser Darstellung? (Angabe wieder im Dezimalsystem) Wie groß ist der absolute Rundungsfehler? |
Teilaufgabe (a) habe ich bereits gelöst:
Vorzeichen-Bit: 0
Exponentenbits: 01111101 (-2 mit Bias 127)
Mantissenbits: 01010101010101010101011
Ich komme allerdings bei (b) nicht weiter. Bisher bin ich beim Umrechnen so weit:
(1 + [mm] \bruch{1}{2^{2}} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2^{2}})^{2} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2^{2}})^{11} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{23}}) \* 2^{-2}
[/mm]
= [mm] 2^{-2} \* (\bruch{1-(\bruch{1}{2^{2}})^{12}}{1-\bruch{1}{2^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{23}}) [/mm] | geometrische Summe gebildet
Ab diesem Punkt weiß ich nicht mehr, wie ich sinnvoll weiter vereinfachen/zusammenfassen kann :-(. Ich habe bereits versucht, den "großen" Bruch in der Klammer auf verschiedene Arten zu erweitern (mit [mm] 1+(\bruch{1}{2^{2}})^{12} [/mm] oder [mm] 1+\bruch{1}{2^{2}}), [/mm] aber die Versuche haben nicht so recht gefruchtet...
Ich bin über jeden Tipp dankbar  .
Viele Grüße
Katzenpfoetchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Sa 28.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Katzenpfoetchen!
Ich hab das ganze mal aus Zahlentheorie in Numerik geschoben, da passt es besser hin.
> (a) Geben Sie an, wie der Bruch [mm]\bruch{1}{3}[/mm] gemäß IEEE
> 754 als binäre 32-Bit Gleitkommazahl (single precision)
> dargestellt wird. Vorausgesetzt wird exakte Rundung nach
> IEEE 754 - Standard ("round to nearest even").
> (b) Welcher Bruch entspricht umgekehrt dieser Darstellung?
> (Angabe wieder im Dezimalsystem) Wie groß ist der absolute
> Rundungsfehler?
> Teilaufgabe (a) habe ich bereits gelöst:
>
> Vorzeichen-Bit: 0
> Exponentenbits: 01111101 (-2 mit Bias 127)
> Mantissenbits: 01010101010101010101011
Sieht gut aus.
> Ich komme allerdings bei (b) nicht weiter. Bisher bin ich
> beim Umrechnen so weit:
>
> (1 + [mm]\bruch{1}{2^{2}}[/mm] + [mm](\bruch{1}{2^{2}})^{2}[/mm] + [mm]\cdots[/mm] +
> [mm](\bruch{1}{2^{2}})^{11}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^{23}}) \* 2^{-2}[/mm]
> =
> [mm]2^{-2} \* (\bruch{1-(\bruch{1}{2^{2}})^{12}}{1-\bruch{1}{2^{2}}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2^{23}})[/mm] | geometrische Summe gebildet
>
> Ab diesem Punkt weiß ich nicht mehr, wie ich sinnvoll
> weiter vereinfachen/zusammenfassen kann :-(. Ich habe
> bereits versucht, den "großen" Bruch in der Klammer auf
> verschiedene Arten zu erweitern (mit
> [mm]1+(\bruch{1}{2^{2}})^{12}[/mm] oder [mm]1+\bruch{1}{2^{2}}),[/mm] aber
> die Versuche haben nicht so recht gefruchtet...
Wenn du Nenner und Zaehler vom Bruch mit 4 multiplizierst, steht im Nenner eine natuerliche Zahl (naemlich 3). Jetzt kannst du beide Brueche (also den grossen und [mm] $\frac{1}{2^{23}}$) [/mm] auf den gleichen Nenner bringen und das ganze moeglichst vereinfachen. Uebrigbleiben sollte sowas wie [mm] $\frac{2^x + y}{3 \cdot 2^x} [/mm] = [mm] \frac{1}{3} [/mm] + [mm] \frac{y}{3 \cdot 2^x}$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen, vielen Dank für deine Hilfe . Mit dem Tipp wurde es dann ganz einfach - schade, dass ich das nicht selbst gesehen habe!
Viele Grüße
Katzenpfoetchen
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