Runge-Kutta-Polygonzug < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y'=sin(x^{2}+y), [/mm] y(0)=1
a)Berechnen Sie eine Annäherung zu y(1) mit dem Euler-Cauchy-Polygonzug und einer Schrittweite [mm] h=\bruch{1}{2}
[/mm]
b)[...]mit dem Runga-Kutta Polygonzug und einer Schrittweite [mm] h=\bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
nachdem ich nun das Euler-Cauchy-Verfahren doch (hoffentlich  ) verstanden habe, tue ich mich nun aber auch mit dem Runge-Kutta-Polygonzug etwas schwer.
Liegt hier vielleicht auch an der Funktion.
Habe für a) folgendes gerechnet:
[mm] u_{0}=1
[/mm]
[mm] u_{1}=u_{0}+h*f(x_{0},u_{0})=1+\bruch{1}{2}sin(1)
[/mm]
[mm] u_{2}=u_{1}+\bruch{1}{2}sin((\bruch{1}{2})^{2}+1+\bruch{1}{2}sin(1)) \rightarrow u_{2}\approx [/mm] y(1) [mm] \approx [/mm] 1,92
Wenn ich das nun mit Runge-Kutta probiere, komme ich auf einen elends langen Ausdruck. Also habe ich da entweder eine falsche Vorgehensweise oder ich sehe nicht, wie ich das vereinfachen kann.
[mm] u_{j+1}=u{j}+\bruch{h}{6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})
[/mm]
[mm] k_{1}=f(x_{j},u{j}) [/mm] = [mm] f(j*h,u_{j}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{1}{4}j^{2}+u_{j})
[/mm]
[mm] k_{2}=f(x_{j}+\bruch{h}{2},u_{j}+\bruch{h}{2}k_{1}) [/mm] = [mm] sin((\bruch{1}{2}j+\bruch{1}{4})^{2}+u_{j}+\bruch{1}{4}[k_{1}])
[/mm]
So, hier sieht man schon, dass das Ganze ziemlich lange Ausdrücke werden, wenn ich das nun noch für [mm] k_{3} [/mm] und [mm] k_{4} [/mm] mache.
Ist das nun doch so gedacht oder habe ich hier schon Fehler drin?
Habe noch probiert [mm] k_{1}..k_{4} [/mm] direkt auszurechnen für [mm] u_{1}, [/mm] weil da ja [mm] u_{j}=u_{0}=1 [/mm] und j=0 ist, aber da habe ich auch jedes Mal etwas anderes herausbekommen, weil man da so durcheinander kommt mit dem Taschenrechner..
Ich hoffe, jemand kann mir sagen, was ich falsch gemacht habe.
Gruß,
guitarhero
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Hallo guitarhero,
> [mm]y'=sin(x^{2}+y),[/mm] y(0)=1
>
> a)Berechnen Sie eine Annäherung zu y(1) mit dem
> Euler-Cauchy-Polygonzug und einer Schrittweite
> [mm]h=\bruch{1}{2}[/mm]
> b)[...]mit dem Runga-Kutta Polygonzug und einer
> Schrittweite [mm]h=\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo,
>
> nachdem ich nun das Euler-Cauchy-Verfahren doch
> (hoffentlich ) verstanden habe, tue ich mich nun aber
> auch mit dem Runge-Kutta-Polygonzug etwas schwer.
>
> Liegt hier vielleicht auch an der Funktion.
>
> Habe für a) folgendes gerechnet:
>
> [mm]u_{0}=1[/mm]
> [mm]u_{1}=u_{0}+h*f(x_{0},u_{0})=1+\bruch{1}{2}sin(1)[/mm]
>
> [mm]u_{2}=u_{1}+\bruch{1}{2}sin((\bruch{1}{2})^{2}+1+\bruch{1}{2}sin(1)) \rightarrow u_{2}\approx[/mm]
> y(1) [mm]\approx[/mm] 1,92
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich das nun mit Runge-Kutta probiere, komme ich auf
> einen elends langen Ausdruck. Also habe ich da entweder
> eine falsche Vorgehensweise oder ich sehe nicht, wie ich
> das vereinfachen kann.
>
> [mm]u_{j+1}=u{j}+\bruch{h}{6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})[/mm]
>
> [mm]k_{1}=f(x_{j},u{j})[/mm] = [mm]f(j*h,u_{j})[/mm] =
> [mm]sin(\bruch{1}{4}j^{2}+u_{j})[/mm]
>
> [mm]k_{2}=f(x_{j}+\bruch{h}{2},u_{j}+\bruch{h}{2}k_{1})[/mm] =
> [mm]sin((\bruch{1}{2}j+\bruch{1}{4})^{2}+u_{j}+\bruch{1}{4}[k_{1}])[/mm]
>
> So, hier sieht man schon, dass das Ganze ziemlich lange
> Ausdrücke werden, wenn ich das nun noch für [mm]k_{3}[/mm] und
> [mm]k_{4}[/mm] mache.
>
> Ist das nun doch so gedacht oder habe ich hier schon Fehler
> drin?
Das ist so gedacht.
> Habe noch probiert [mm]k_{1}..k_{4}[/mm] direkt auszurechnen für
> [mm]u_{1},[/mm] weil da ja [mm]u_{j}=u_{0}=1[/mm] und j=0 ist, aber da habe
> ich auch jedes Mal etwas anderes herausbekommen, weil man
> da so durcheinander kommt mit dem Taschenrechner..
>
> Ich hoffe, jemand kann mir sagen, was ich falsch gemacht
> habe.
>
Du hast nichts falsch gemacht.
> Gruß,
> guitarhero
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 11.11.2012 | | Autor: | guitarhero |
Hey,
okay, war doch nicht zu blöd auszurechnen, wenn man die Werte für [mm] k_{1}..k_{4} [/mm] notiert und nicht mit den ganz genauen Werten rechnet.
Habe nun 1,83 raus mit dem Runge-Kutta, das klingt ja ganz vernünftig.
Danke fürs Absichern 
Gruß, guitarhero
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