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| Aufgabe | A biased coin is tossed n times, and heads showing with probability p on each toss. A run
is a sequence of throws which result in the same outcome, so that, for example, the sequence
HHTHTTH contains five runs. Find the expectation and the variance of the number of runs.
Hint: Use indicator functions to describe the number of runs.
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Wie bitte kann ich das lösen. Wäre um jede Hilfe froh.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 29.05.2007 | | Autor: | DirkG |
Erstmal die relevanten Zufallsgrößen bezeichnen:
[mm] $X_k$ [/mm] ... Ergebnis des $k$-ten Wurfs, sagen wir 0 für Zahl, 1 für Kopf
$R$ ... Anzahl der Runs in der Folge von $n$ Würfen [mm] $X_1,\ldots,X_n$
[/mm]
So, und jetzt überlegt man sich:
Mit der ersten Münze beginnt der erste Run. Ein neuer Run beginnt nun beim Wurf [mm] $X_{k+1}$ [/mm] genau dann, wenn sich das Ergebnis vom Vorgängerwurf [mm] $X_k$ [/mm] unterscheidet. Also folgt mit Indikatorfunktion [mm] $1(\ldots)$ [/mm] unmittelbar
$$R = 1 + [mm] \sum\limits_{k=1}^{n-1} 1(X_k\neq X_{k+1}) .\qquad [/mm] (1)$$
Die Verteilung der [mm] $X_k$ [/mm] kennst du: Unabhängig, identisch verteilt mit [mm] $P(X_k=1)=p$ [/mm] und demzufolge [mm] $P(X_k=0)=1-p$. [/mm] Mit Formel (1) kannst du nun leicht $E(R)$ und etwas schwieriger auch [mm] $\operatorname{var}(R)$ [/mm] bestimmen.
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