SP bestimmen bei Quad. Funkti. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 12.10.2006 | | Autor: | lol41 |
| Aufgabe | f(x) = [mm] x^2+2x-8
[/mm]
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel und stelle fest, ob der Scheitelpunkt der tiefste Punkt oder der höchste Punkt der Parabel ist. |
Wie kann ich die genaue Lage des Scheitelpunktes bestimmen? Es wäre super, wenn mir einer dies anhand der Funktion f(x) = [mm] x^2+2x-8 [/mm] vorrechnen könnte und mir das Vorgehen logisch begründen kann. Danke schon Mal für euer Bemühen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 12.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
also auf geht's. du musst die funktion in scheitelpunksform bringen, dazu ergänzt du die funktion quadratisch, fasst das ergebnis in einer binomischen formel zusammen und schon hast du die scheitelpunktsform.
achso, der öffnungsfaktor steht vor dem [mm] x^2
[/mm]
a) ist der öffnungsfaktor postiv ( [mm] \ge [/mm] 0) dann ist die parabel nach oben geöffnet, d.h. der scheitelpunkt ist gleichzeitig tiefpunkt
b) ist der öffnungsfaktor negativ ( < 0) dann ist die parabel nach unten geöffnet, d.h. der scheitelpunkt ist gleichzeitig hochpunkt
zu deiner aufgabe.
du brauchst die erste binomische formel
f(x)= [mm] x^2 [/mm] + 2x -8
wie kann ich diesen ausdruck mithilfe einer binomischen formel schreiben?
zur erinnerung [mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2
[/mm]
in deiner aufgabe steht [mm] a^2 [/mm] (d.h. [mm] x^2) [/mm] und 2ab (d.h. 2x) bereits da,
weil vor dem [mm] a^2 [/mm] kein faktor steht (präzise: kein faktor [mm] \ne [/mm] 1), kann ich sofort zur quadratischen ergänzung übergehen
sonst müßte man den faktor vor dem [mm] a^2 [/mm] ausklammern und dann weitermachen...
dazu muss ich mein b erkennen, das in der regel im linearen summanden
"versteckt" ist. hier
2x = 2x*1 also ist b=1
[anderes beispiel: [mm] \bruch{2}{5}x [/mm] könnte ich schreiben als [mm] 2x*\bruch{1}{5} [/mm] dann wäre b= [mm] \bruch{1}{5}]
[/mm]
jetzt fehlt mir noch das [mm] b^2. [/mm] das muss ich "ergänzen" und zwar so, dass ich die gleichung dabei nicht verändere. wie mache ich das?
ich addiere [mm] b^2 [/mm] und ziehe es gleichzeitig wieder ab.
f(x)= [mm] x^2 [/mm] + 2x*1 [mm] +1^2 -1^2 [/mm] - 8
durch diesen "trick" kann ich jetzt
[mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm] als binomische formel schreiben:
f(x) = (x + [mm] 1)^2 [/mm] - [mm] 1^2 [/mm] -8
f(x) = [mm] (x+1)^2 [/mm] -9
aus dieser form kann ich nun den scheitelpunkt sofort ablesen:
S(-1 / -9)
alles roger?
f(x)=
gruss
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 12.10.2006 | | Autor: | lol41 |
Danke für deine Antwort,
ich habe grade bereits eine Formel gefunden, mit welche man die Scheitelpunkte für die x und y Achse bestimmen kann.
Dazu soll man - laut der Internetseite - die Werte aus a * [mm] x^2 [/mm] + b * x + c ablesen und entsprechend in eine folgende Funktion einsetzen:
S(y) = -b / 2a
S(x) = c - (b ^2 / 4 * a)
Ich habe diese Funktionen bei meiner Aufgabe angewandt und es kamen die richtigen Ergebnisse raus. Nun wollte ich fragen, ob ich diese Funktionen universell einsetzen darf und ob mir - wenn ich die Funktionen zum Beispiel in einer Mathe-Arbeit einsetze - Punkte abgezogen werden können. Ich finde nämliche die Funktionen logischer (und einfacher) als das Umstellen in der Scheitelform. Bin gespannt auf Informationen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Do 12.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Formel gefunden hast, kannst du sie natürlich auch anwenden. Ich würde aber diese Formel im Unterricht vor der Klassenarbeit zumindest mal erwähnen. Wenn dein Lehrer dann etwas komplett anderes sagt, solltest du dich danach richten, so schade das auch wäre.
Wenn du die Scheitelpunktform nicht magst, noch ein Tipp.
Eine Parabel hat meistens zwei Nullstellen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm] Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen diesen beiden Nullstellen, es gilt also: [mm] x_{s}=\bruch{x_{1}+x_{2}}{2}
[/mm]
Das heisst, der Scheitelpunkt hat die Koordinaten [mm] x_{s}/f(x_{s})
[/mm]
Hat die Parbel nur eine Nullstelle, ist sie auch gleichzeitig der Scheitelpunkt.
In seltenen Fällen hat die Parabelauch keine Nullstellen, dann kannst du diesen Trick naturlich nicht anwenden, was nicht heisst, es gibt keinen Scheitelpunkt.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 12.10.2006 | | Autor: | lol41 |
Hallo Marius,
ich finde deinen Trick interessant. Ich bin auch schon einmal selber auf diesen Gedanken gestossen, bin allerdings auf folgendes Problem gestoßen:
Dadurch bestimme ich ja nur den x-Wert des Scheitelpunktes. Wie kann ich nun den y-Wert bestimmen? Gibt es da auch einen ähnlichen "Trick"?
|
|
|
| |
|
Hallo lol41 !
...und WILLKOMMEN IM MATHERAUM! *lol*
So, jetzt mal zu der ziemlich guten Idee, den Scheitelpunkt unter Verwendung der Nullstellen zu finden!
Zuerst doch noch mal zu einer vieeeel schwierigen Frage: Sollst/ darfst du diese Formeln verwenden. Ich würde, aus didaktischer Sicht, in jedem Falle nein sagen, derartiges verbieten, esseiden... das ist schwierig, denke ich!
Aus Schülersicht, meiner Ansicht nach, JA.
...was aber auch an ein recht großes "aber" gebunden ist, denn, nur so lange du sie erklären, in jedem Falle aber beweisen und am besten Herleiten können solltest!!!!!!
Wenn du darüber etwas erfahren willst, ob Beweis oder sogar vollständige Herleitung, werde ich dies posten.
Ich kenne eine, etwas komplexe, aber absolut verständliche, und 100% ohne die viel verwendete Differentialrechung!!
Melde dich mal!
So, jetzt zur der "eigentlichen" Frage:
[mm]x_s=\left \bruch{x_1+x_2}{2} \right[/mm]
...kannst du erechnen.
...Und dann ist die Frage nach der [mm]y[/mm]-Koordiante.
Nach NICHTS leichter als das! Wenn du doch den [mm]x[/mm]-Wert hast, brauchst du doch nur, um die zugehörige [mm]y[/mm]-Koordiante berechnen, indem du die [mm]x[/mm]-Koordiante einsetzt.
Folglich ist der gesuchte [mm]y[/mm]-Wert nichts anderes als [mm]f(x_s)[/mm]!
Berechne also für deine Funktion [mm]x_s[/mm] nach deiner Idee und setze dann den [mm]x[/mm]-Wert in die Funktionsgleichung ein, um den [mm]y[/mm]-Wert des Scheitelpunktes der Funktion direkt zu erhalten!
Versuch es bitte mal... und melde dich, wenn du Zeit hast, zurück!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Do 12.10.2006 | | Autor: | lol41 |
Hallo und danke Goldener Schnitt,
die Sache mit dem Einsetzen war auch wirklich zu einfach um wahr zu sein ;). Dennoch danke für deine Hilfe; nun kenn ich ja schon drei Wege, um den Schnittpunkt bestimmen zu können :).
Ich würde mich überdies freuen, wenn Du hier noch die komplette Herleitung von jenen Formeln posten könntest. Mich würde doch brennend interessieren, woher man diese ableiten kann. Freue mich auf weitere Informationen,
euer lol41
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 13.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo io
Du musst nur einmal aus der allgemeinen Formel [mm] $y=ax^2+bx+c$ [/mm] mit Hilfe der quadratischen Ergänzung den Scheitelpunkt ausrechnen. Dann kommen genau deine Formeln raus!
Solche Formeln für ne Mathearbeit zu benutzen, wenn ihr sie nicht hergeleitet habt, würd ich nicht raten! Die meisten Lehrer sind allergisch gegen Formeln, die man einfach irgendwo her hat, ohne daass man weiss wozu sie sind!
(Man lernt doch auch mathe, damit man sieht, WARUM etwas richtig ist, sonst ists ja nur doofes Zahleneinsetzen)
Aber du kannst das einmal wirklich machen, dann am Anfang der Klassenarbeit hinschreiben und dann benutzen! Das lohnt sich, wenn mehrere solche Aufgaben in der Arbeit vorkommen! Und es geht auf die 2 früher beschriebenen Weisen a) mitte zw. den 2 Nullstellen oder b) quadratische Ergänzung!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo lol41!!!
...und einen schönen guten Morgen! (...bin gerade erst aufgestanden; gestern auss dem Urlaub im Dummenland (USA!!!!!) wiedergekommen!
Wenn also eine Parabel der Form [mm]f(x)=y=a*x^2+b*x+c[/mm] symetrisch ist (was bis hier hin nicht bewiesen ist), so muss ein Symetriezentrum existieren.
Dies muss genau so liegen, das eine Senkrechte, die Symetrieachse, durch sie geht.
Der [mm]x[/mm]-Wert dieses Symetriezentrums heiße fortan [mm]x_s[/mm].
Wenn dieses also existiert, so heiße der Abstand von selbigem zu dem Funktionsgraphen nun [mm]z[/mm].
Sollte nun die Symetrie von Parabeln wirklich existieren, daher auch dieses Symetriezentrum, so müsste doch unabhänig von dem Abstand [mm]z[/mm] immer gelten:
[mm]\red{f(x_s+z)=f(x_s-z)}[/mm]
Nun können wir jeweils in die Funktionsgleichung einstzen:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]a*(x_s+z)^2+b*(x_s+z)+c=a*(x_s-z)^2+b*(x_s-z)+c[/mm]
..wir lösen zuerst nur die binomischen Formlen auf:
[mm] \gdw[/mm] [mm]a*(x_s^2+2*x_s*z+z^2)+b*(x_s+z)+c=a*(x^2_s-2*x_s*z+z^2)+b*(x_s-z)+c[/mm]
Nun multiplizieren wir die Klamern mit dem Faktor [mm]a[/mm] aus...
[mm] \gdw[/mm] [mm]a*x_s^2+2*a*x_s*z+a*z^2+b*(x_s+z)+c=a*x^2_s-2*a*x_s*z+a*z^2+b*(x_s-z)+c[/mm]
...so jetzt lösen wir die anderen Klammern auf:
[mm] \gdw[/mm] [mm]a*x^2_s+2*a*x_s*z+a*z^2+b*x_s+b*z+c=a*x^2_s-2*a*x_s*z+a*z^2+b*x_s-b*z+c[/mm]
Nun markiere ich dir mal alles blau was man einfach "wegsubtrahieren" kann (...eine ganze Menge, es wird einfacher...):
[mm] \gdw[/mm] [mm]\blue{a*x^2_s}+2*a*x_s*z+\blue{a*z^2}+\blue{b*x_s}+b*z+\blue{c}=\blue{a*x^2_s}-2*a*x_s*z+\blue{a*z^2}+\blue{b*x_s}-b*z+\blue{c}[/mm]
...nun tun wir dies doch, ... und schwups:
[mm] \gdw[/mm] [mm]2*a*x_s*z+b*z=-2*a*x_s*z-b*z[/mm]
Nun bringen wir erstmal [mm]-2*a*x_s*z-b*z[/mm] hinüber, wir erhalten:
[mm] \gdw[/mm] [mm]4*a*x_s*z+b*z=-b*z[/mm]
Jetzt noch schnell [mm]b+z[/mm] nach "rechts" rübergebracht...
[mm] \gdw[/mm] [mm]4*a*x_s*z=-2*b*z[/mm]
...und durch [mm]4[/mm] dividieren:
[mm] \gdw[/mm] [mm]a*x_s*z=\left \bruch{b*z}{2} \right[/mm]
...noch mal dividiert; durch [mm]a[/mm]:
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_s*z=\left \bruch{-b*z}{2*a} \right[/mm]
...und jetzt: Wire haben schon fast [mm]\red{x_s}[/mm] gefunden; nur das [mm]\red{z}[/mm] stört noch!
Das macht aber gar nichts, den wir können es "wegdividieren"!
Damit aber haben wir dann gezeigt, das eine Parabel wirklich und symetrisch ist .... und haben automatisch eine Formel für [mm]\red{x_s}[/mm] gefunden, man staune...
[mm] \gdw[/mm] [mm]x_s=\left \bruch{-b}{2*a} \right[/mm]
SUPER! FERTIG!
WIR HABEN ALSO SCHON NUN EINE FORMEL FÜR DEN [mm]x[/mm]-WERT GEFUNDEN!
Um nun aber dazu noch den passenden [mm]y[/mm]-Wert zu finden, brechnet man einfach den entsprechen Funktionswert (wie schon vorher besprochen!)
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f(x_s)=a*\left (\bruch{-b}{2*a} \right)^2+2*b*\left (\bruch{-b}{2*a} \right)+c[/mm]
...nur ein bisschen Umformen, Klammern auflösen und Bruchrechung:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f(x_s)=a*\left (\bruch{b^2}{4a^2} \right)-\left \bruch{b^2}{2a} \right+c[/mm]
..geht weiter..
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f(x_s)=\left \bruch{b^2}{4a} \right-\left \bruch{b^2}{2a} \right+c[/mm]
..nu den "zweiten" Bruch mit [mm]2[/mm] erweitern, damit man sie subtrahieren kann:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f(x_s)=\left \bruch{b^2}{4a} \right-\left \bruch{2*b^2}{4*a} \right+c[/mm]
...und ... fertig!
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f(x_s)=\left \bruch{-b^2}{4a} \right+c=c-\left \bruch{b^2}{4a} \right[/mm]
...und weil der [mm]y[/mm]-Wert des Scheitelpunktes ja genau [mm]f(x_s)[/mm] ist, haben wir nun die Formeln für den Scheitlepunkt FERTIG!!!!!
SIE LAUTEN:
[mm]\green{x_s=\left \bruch{-b}{2a} \right}[/mm]
[mm]\green{y_s=c-\left \bruch{b^2}{4a} \right}[/mm]
So, ich hoffe, trotz der gewaltigen Menge an Informationen , das du dies mit meinen Erklärungen verstehe kannst!
Wäre echt nett von dir, von du dich dann mal meldest, eventuell Fragen oder einfach mal eine Rückmeldung!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 13.10.2006 | | Autor: | lol41 |
Hi Goldener Schnitt,
ich habe deine Umformungen alle verstanden, allerdings ist mir ein Sachverhalt unschlüssig: Wieso ist (x - z) = (x + z) ??
Was ist überhaupt dieses uminöse "z"? Ich habe mal skizziert, wie ich mir das im Moment vorstelle. Und da ist der Abstand "z" immer unterschiedlich (wird im Verlaufe der Parabel immer größer) http://aomx.ao.funpic.de/scheitelz.jpg Hier findest du ein entsprechendes Bild. Vielleicht kannst du mir ja mal skizzieren, was wirklich "z" ist?
|
|
|
| |
|
Hallo lol41!!!
...und einen schönen Tag!!!
Ich habe nur ganz wenig Zeit, desswegen versuche ich es jetzt mal gaaaaanz kurz:
Deine Skizze ist total korrekt!
[mm]z[/mm] ist wirklich der "immer größer werdene" Abstand zum Graphen selber von der Symetrieachse aus!
....und mit
[mm]\red{f}(x_{\red{s}}+z)=\red{f}(x_{\red{s}}-z)[/mm] ist jeweils der Funktionswert der Funktion von [mm]x_{\red{s}}+z[/mm] und [mm]x_{\red{s}}-z[/mm]. Ist dir die Schreibweise z.B. [mm]f(x)[/mm] nicht bekannt?
So, und wenn diese Funktionswerte für alle [mm]z[/mm] gleich sind, dann ist das wirklich die Symetrieachse und damit findet man dann auch die Formel für den den [mm]x[/mm]-Wert des Scheitels, durch den die Symetrieachse natürlich senkrecht (wie in deiner Skizze!) läuft!
Klarar?!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
|
