S(x):=x \cup {x},formulieren < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:18 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Wir definieren nun S(x):= x [mm] \cup \{x\}. [/mm] Formuliere die Existenz von S(x) als first order Formel [mm] \phi(x); [/mm] und beweisen Sie [mm] \forall [/mm] x [mm] \phi(x). [/mm] Zeigen Sie [mm] (\forall [/mm] x)S(x) [mm] \not=x [/mm] (verwenden Sie dazu Fundierung) |
Hallo,
Skriptum!: http://www.logic.univie.ac.at/~kellner/teaching/2010SS_Grundbegriffe/Ziegler_2008-07.pdf
Seite 38 beginnt das Kapitel
Ich habe bei der Aufgabe nicht wirklich einen Plan.Ich formuliere nun noch alles in semiformaler sprache.
x [mm] \cup \{x \} [/mm] = [mm] \{ z | z=x \vee z= \{x\}\}
[/mm]
Eine Funktion haben wir eingeführt als rechtseindeutige Relation:
[mm] \forall x,y_1,y_2 (x,y_1) \in [/mm] f [mm] \wedge (x,y_2) \in [/mm] f -> [mm] y_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Man schreibt f(x)=y für (x,y) [mm] \in [/mm] f
Und eine Relation als Menge von Paaren.
Außerdem haben wir das Vereinigungsaxiom:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] z [mm] z\in [/mm] x <-> ( [mm] \exists [/mm] w (z [mm] \in [/mm] w [mm] \wedge [/mm] w [mm] \in [/mm] y)
Wenn ich da alles zusammenfassen soll, wird das ja eine Formel von paar Zeilen, bzw. ich verliere total den Überblick..
Warum sollte überhaupt gelten [mm] \forall [/mm] x [mm] \phi(x) [/mm] ? In welchen Raum soll das bewiesen werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 01.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> Ich habe bei der Aufgabe nicht wirklich einen Plan.Ich
> formuliere nun noch alles in semiformaler sprache.
> x [mm]\cup \{x \}[/mm] = [mm]\{ z | z=x \vee z= \{x\}\}[/mm]
Nein. [mm] $x\cup\{x\}=\{z\;|\;z\in x\vee z\in\{x\}\}=\{z\;|\;z\in x\vee z=x\}$.
[/mm]
> Außerdem haben wir das Vereinigungsaxiom:
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] z [mm]z\in[/mm] x <-> ( [mm]\exists[/mm] w (z
> [mm]\in[/mm] w [mm]\wedge[/mm] w [mm]\in[/mm] y)
>
> Wenn ich da alles zusammenfassen soll, wird das ja eine
> Formel von paar Zeilen, bzw. ich verliere total den
> Überblick..
Ich verstehe den ersten Aufgabenteil so, dass es genügt, folgende Aussage durch eine Formel [mm] $\phi(x)$ [/mm] zu formalisieren:
Es existiert ein Menge, die genau die Mengen $z$ enthält mit [mm] $z\in [/mm] x$ oder [mm] $z\in\{x\}$.
[/mm]
> Warum sollte überhaupt gelten [mm]\forall[/mm] x [mm]\phi(x)[/mm] ? In
> welchen Raum soll das bewiesen werden?
In allen "Räumen", die ZFC genügen. Bewiesen werden soll also [mm] $ZFC\vdash \forall x\phi(x)$.
[/mm]
Du darfst sicherlich für alle Mengen $x$ und $y$ die Existenz von [mm] $x\cup [/mm] y$ verwenden (das hattet ihr ja im Skript), also die Existenz einer Menge, die genau die Elemente von $x$ und die Elemente von $y$ enthält.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Lu- |
> Nein. $ [mm] x\cup\{x\}=\{z\;|\;z\in x\vee z\in\{x\}\}=\{z\;|\;z\in x\vee z=x\} [/mm] $.
Mhm, aber:
x [mm] \cup \{x\} =\bigcup \{x,\{x\}\}
[/mm]
(wegen x [mm] \cup [/mm] y = [mm] \bigcup \{x,y\} [/mm] )
[mm] \{x,\{x\}\}= \{z|z=x \vee z \in \{x\} \} [/mm]
(wegen [mm] \{x,y\}=\{z|z=x \vee z=y \}
[/mm]
> Es existiert ein Menge, die genau die Mengen $ z $ enthält mit $ [mm] z\in [/mm] x $ oder $ [mm] z\in\{x\} [/mm] $.
Wo ist die vereinigung geblieben?
Existenz einer Menge, die genau die Elemente von x und die Elemente von [mm] \{x\} [/mm] enthält.
Kannst du mir das vlt erklären? Ich komme da nich weiter!
> In allen "Räumen", die ZFC genügen. Bewiesen werden soll also $ [mm] ZFC\vdash \forall x\phi(x) [/mm] $.
Kannst du mir vlt. einen Tipp geben, wie man das zeigt? Soll man mit Belegungen arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 01.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nein. [mm]x\cup\{x\}=\{z\;|\;z\in x\vee z\in\{x\}\}=\{z\;|\;z\in x\vee z=x\} [/mm].
>
> Mhm, aber:
> x [mm]\cup \{x\} =\bigcup \{x,\{x\}\}[/mm]
> (wegen x [mm]\cup[/mm] y =
> [mm]\bigcup \{x,y\}[/mm] )
Ja. Warum "aber"?
> [mm]\{x,\{x\}\}= \{z|z=x \vee z \in \{x\} \}[/mm]
Nein. [mm] $\{x,\{x\}\}=\{z\;|\;z=x\vee z=\{x\}\}$.
[/mm]
> (wegen [mm]\{x,y\}=\{z|z=x \vee z=y \}[/mm]
Ja.
> > Es existiert ein Menge, die genau die Mengen [mm]z[/mm] enthält mit
> [mm]z\in x[/mm] oder [mm]z\in\{x\} [/mm].
> Wo ist die vereinigung geblieben?
[mm] $x\cup y=\{z\;|\;z\in x\vee z\in y\}$.
[/mm]
> Existenz einer Menge, die genau die Elemente von x und die
> Elemente von [mm]\{x\}[/mm] enthält.
> Kannst du mir das vlt erklären? Ich komme da nich weiter!
Wobei kommst du nicht weiter? Bei der Formulierung von der Aussage, dass eine Menge [mm] $x\cup\{x\}$ [/mm] existiert, die genau die Mengen $z$ mit [mm] $z\in [/mm] x$ oder [mm] $z\in\{x\}$ [/mm] als Elemente hat?
> > In allen "Räumen", die ZFC genügen. Bewiesen werden soll
> also [mm]ZFC\vdash \forall x\phi(x) [/mm].
> Kannst du mir vlt. einen
> Tipp geben, wie man das zeigt? Soll man mit Belegungen
> arbeiten?
Naheliegend wäre das. Aber spätestens, wenn man mit der Mengenlehre arbeitet (was bei euch sehr früh kommt), arbeitet man informeller. Man formuliert Aussagen in natürlicher Sprache, die man prinzipiell in die Prädikatenlogik übersetzen könnte, tut dies aber normalerweise nicht mehr. Und man nimmt die ZFC-Axiomen als "wahre" Aussagen und trifft daraus Schlussfolgerungen wie in der "normalen" Mathematik. Wenn man dabei keine anderen Annahmen über Mengen als die ZFC-Axiome verwendet, gelten die bewiesenen Aussagen in jedem ZFC-Modell.
Beispiele für solche informellen Beweise findest du im Skript. Und ich mache dir mal vor, wie ich hier einen Beweis formulieren würde:
Wir wollen zeigen, dass zu jeder Menge x eine (eindeutig bestimmte) Menge [mm] $x\cup \{x\}$ [/mm] existiert, die genau die Mengen $z$ als Elemente hat, die [mm] $z\in [/mm] x$ oder [mm] $u\in\{x\}$ [/mm] erfüllen.
Nach Paarmenge existiert eine (nach Extensionalität eindeutig bestimmte) Menge [mm] $\{x,x\}$, [/mm] die genau die Mengen $z$ mit $z=x$ oder $z=x$ als Element hat. [mm] $\{x,x\}$ [/mm] ist also die eindeutig bestimmte Menge, die genau die Mengen $z$ mit $z=x$ als Elemente hat, also die Menge mit einzigem Element $x$. Daher schreiben wir [mm] $\{x\}$ [/mm] für diese Menge.
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass für je zwei Mengen [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] eine eindeutig bestimmte Menge [mm] $y_1\cup y_2$ [/mm] existiert, deren Elemente genau die Mengen $z$ mit [mm] $z\in y_1$ [/mm] oder [mm] $z\in y_2$ [/mm] sind. Also existiert eine eindeutig bestimmte Menge [mm] $x\cup \{x\}$, [/mm] deren Elemente genau die Mengen $z$ mit [mm] $z\in [/mm] x$ oder [mm] $z\in\{x\}$ [/mm] sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Lu- |
Ah, vielen Dank. Ich verstehe schon um einiges mehr ;)
> Aber spätestens, wenn man mit der Mengenlehre arbeitet (was bei euch sehr früh kommt)..
Es ist "nur" ein Einschub. In der Vorlesung ist Mengenlehre nicht geplant, es ist nur ein kleiner Exkurs um Luft der Mengenlehre zu schnuppern ;)
-) Formuliere die Existenz von S(x)
x [mm] \cup \{x\} [/mm] = [mm] \{ z | z \in x \vee z \in \{x\}\}
[/mm]
[mm] \{x\} [/mm] ist die Menge, die Menge k enthält mit einzigen Element x als Element hat.
Semiformal:
[mm] \forall [/mm] k [mm] \exists [/mm] t [mm] \forall [/mm] z (z [mm] \in [/mm] t <-> (z [mm] \in [/mm] x [mm] \vee [/mm] [z [mm] \in [/mm] k <-> (x = k)]))
bzw.: [mm] \exists [/mm] t [mm] \forall [/mm] z (z [mm] \in [/mm] t <->(z [mm] \in [/mm] x [mm] \vee [/mm] z=x))
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Do 02.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> -) Formuliere die Existenz von S(x)
> x [mm]\cup \{x\}[/mm] = [mm]\{ z | z \in x \vee z \in \{x\}\}[/mm]
> [mm]\{x\}[/mm]
> ist die Menge, die Menge k enthält mit einzigen Element x
> als Element hat.
Wo kommt das $k$ auf einmal her?
> Semiformal:
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\exists[/mm] t [mm]\forall[/mm] z (z [mm]\in[/mm] t <-> (z [mm]\in[/mm] x [mm]\vee[/mm]
> [z [mm]\in[/mm] k <-> (x = k)]))
> bzw.: [mm]\exists[/mm] t [mm]\forall[/mm] z (z [mm]\in[/mm] t <->(z [mm]\in[/mm] x [mm]\vee[/mm] z=x))
Letzteres passt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ersteres nicht. Z.B. über [mm] $k=\emptyset$ [/mm] und [mm] $x\not=\emptyset$ [/mm] würde die Formel aussagen, dass es eine Menge $t$ aller Mengen gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 Do 02.05.2013 | | Autor: | Lu- |
Danke.Axiomatische Mengenlehre ist einerseits toll, weil man grundlegende Dinge formulieren und beweisen kann. Andererseits (was ich nach einen Tag Hardcore Mengenlehre sagen kann) auch grausam! ;)
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