Sachaufgabe 2 (3?) Unbekannte < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Produkt zweier reeller Zahlen a und b ist 15. Die Differenz aus dem Zehnfachen von a und einem Drittel der Quadratzahl von b ergibt die Summe aus dem Doppelten von b und 1.
Bestimmen Sie unter Angabe eines geeigneten Ansatzes die Zahlen a und b. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich versuche nun schon seit zwei Stunden diese Aufgabe zu lösen. Ich bin Schülerin an einer Fachoberschule (einjährig) und unser Lehrer meinte, dass wir diese Aufgabe eigentlich schon lösen können müssten.
Mein Ansatz war bisher:
a * b = 15
10a - 1/3 [mm] (b^2) [/mm] = 2b + 1
Dann habe ich die 2. Gleichung nach a aufgelöst:
10a - 1/3 [mm] (b^2) [/mm] = 2b + 1
(-1/3 * [mm] b^2) [/mm] + 10a = 2b +1
10 a = 2b + 1 + (1/3 * [mm] b^2)
[/mm]
a = 0,2 b + 0,1 + 0,0333 * [mm] b^2
[/mm]
Danach habe ich die 1. Gleichung auch nach a aufgelöst:
a * b = 15
a = 15/b
Die beiden Gleichungen habe ich dann gleichgesetzt:
0,2 b + 0,1 + 0,0333 * [mm] b^2 [/mm] = 15/b
Nur dann weiß ich nicht mehr weiter. Wenn ich dann alles auf der 1. Seite mit b multipliziere, bekomme ich auf der anderen Seite [mm] b^3 [/mm] raus und ich weiß nicht wie man eine Gleichung 3. Grades löst, da ich das noch nie in der Schule hatte. Aber ein anderer Lösungsansatz fällt mir auch nicht ein. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Ich würde es wirklich gern verstehen :)
Vielen Dank schonmal!
P.S. Ich bin neu im Forum und hoffe, alle Regeln beachtet zu haben!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Sa 10.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Das Produkt zweier reeller Zahlen a und b ist 15. Die
> Differenz aus dem Zehnfachen von a und einem Drittel der
> Quadratzahl von b ergibt die Summe aus dem Doppelten von b
> und 1.
> Bestimmen Sie unter Angabe eines geeigneten Ansatzes die
> Zahlen a und b.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich versuche nun schon seit zwei Stunden diese Aufgabe zu
> lösen. Ich bin Schülerin an einer Fachoberschule
> (einjährig) und unser Lehrer meinte, dass wir diese
> Aufgabe eigentlich schon lösen können müssten.
>
> Mein Ansatz war bisher:
> a * b = 15
> 10a - 1/3 [mm](b^2)[/mm] = 2b + 1
Die Gleichungen sind korrekt
>
> Dann habe ich die 2. Gleichung nach a aufgelöst:
> 10a - 1/3 [mm](b^2)[/mm] = 2b + 1
> (-1/3 * [mm]b^2)[/mm] + 10a = 2b +1
> 10 a = 2b + 1 + (1/3 * [mm]b^2)[/mm]
> a = 0,2 b + 0,1 + 0,0333 * [mm]b^2[/mm]
>
> Danach habe ich die 1. Gleichung auch nach a aufgelöst:
> a * b = 15
> a = 15/b
>
> Die beiden Gleichungen habe ich dann gleichgesetzt:
> 0,2 b + 0,1 + 0,0333 * [mm]b^2[/mm] = 15/b
Das wäre machbar, ist aber recht kompliziert.
Setze [mm] a=\frac{15}{b} [/mm] in die andere Gleichung ein, und du bekommst:
[mm] 10\cdot\frac{15}{b}-\frac{1}{3}b^{2}=2b+1
[/mm]
Um das b aus dem Nenner zu bekommen, multipliziere beide Seiten mit b, das ergibt:
[mm] 150-\frac{1}{3}b^{3}=2b^{2}+b
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -\frac{1}{3}b^{3}-2b^{2}-b+150=0
[/mm]
Und diese Gleichung kannst du in der Tat nur durch eine ![[]](/images/popup.gif) Polynomdivision faktorisieren. Dazu muss man leider eine Nullstelle "erraten" (oder von einem Rechner ermitteln lassen).
Das ergibt:
[mm] -\frac{1}{3}b^{3}-2b^{2}-b+150
[/mm]
[mm] \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}b^{3}-2b^{2}-b+150\right)
[/mm]
[mm] \frac{1}{3}\left(b-6\right)\left(-b^2-12b-75\right)
[/mm]
>
> Nur dann weiß ich nicht mehr weiter. Wenn ich dann alles
> auf der 1. Seite mit b multipliziere, bekomme ich auf der
> anderen Seite [mm]b^3[/mm] raus und ich weiß nicht wie man eine
> Gleichung 3. Grades löst, da ich das noch nie in der
> Schule hatte. Aber ein anderer Lösungsansatz fällt mir
> auch nicht ein. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Ich
> würde es wirklich gern verstehen :)
Ich hoffe, ich konnte.
>
> Vielen Dank schonmal!
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> P.S. Ich bin neu im Forum und hoffe, alle Regeln beachtet
> zu haben!
>
Hast du, da sind wir gerade am Anfang auch nicht so pingelig.
Marius
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort, M.Rex!
Bis dahin komme ich noch mit:
Um das b aus dem Nenner zu bekommen, multipliziere beide Seiten mit b, das ergibt:
-1/3 - - b + 150
Aber danach verstehe ich nicht, wie du auf 1/3 kommst, die du vor die gesamte Gleichung setzt? Hast du die "erraten"? Ich komme leider mit beiden Rechnern, die du verlinkt hast nicht wirklich klar, weil ich nicht weiß was ich direkt eingeben muss.
Auch den dritten Schritt, wie du also plötzlich auf 1/3 (b-6) .... kommst, kann ich nicht nachvollziehen. Kannst du das vielleicht noch etwas genauer erklären?
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Hallo Chrissyb0708,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort, M.Rex!
>
> Bis dahin komme ich noch mit:
>
> Um das b aus dem Nenner zu bekommen, multipliziere beide
> Seiten mit b, das ergibt:
> -1/3 - - b + 150
>
Hier muss es doch heißen: [mm]-\frac{1}{3}b^{3}-2b^{2}-b+150[/mm]
> Aber danach verstehe ich nicht, wie du auf 1/3 kommst, die
> du vor die gesamte Gleichung setzt? Hast du die "erraten"?
Nein, das ist der Koeffizient vor [mm]b^{3}[/mm]
> Ich komme leider mit beiden Rechnern, die du verlinkt hast
> nicht wirklich klar, weil ich nicht weiß was ich direkt
> eingeben muss.
>
> Auch den dritten Schritt, wie du also plötzlich auf 1/3
> (b-6) .... kommst, kann ich nicht nachvollziehen. Kannst du
> das vielleicht noch etwas genauer erklären?
Eine Nullstelle des Polynoms
[mm]-\frac{1}{3}b^{3}-2b^{2}-b+150[/mm]
kannst Du auch folgendermaßen ermitteln:
Multipliziere das Polynoms mit -.3,
damit der Koeffizient vor [mm]b^{3}[/mm] zu 1 wird.
Untersuche dann alle ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes
(das Glied ohne b)
Hast Du eine Nullstelle gefunden, so kannst Du dann eine
Polynomdivision durchführen.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort und die Willkommensgrüße :)
Puh, jetzt raucht mein Kopf aber ganz schön.
Also lässt sich diese Aufgabe nicht ohne Polynomdivision lösen?
Ich habe leider nicht wirklich verstanden, wie sich das ganze dann am besten umsetzen lässt. Kannst du es vielleicht an meinem Beispiel zeigen?
Ich habe gerade gegoogelt und mich über die Polynomdivision erkundigt (wie gesagt, das hatte ich bisher noch nicht im Unterricht), aber mir fehlt irgendwie der Weitblick um zu erkennen wie ich dadurch letztendlich zu den zwei Zahlen kommen soll, die in der Aufgabenstellung gefragt werden.
Ich kann auch immer noch nicht wirklich nachvollziehen, wie Marius darauf gekommen ist:
$ [mm] \frac{1}{3}\left(b-6\right)\left(-b^2-12b-75\right) [/mm] $
Ich hoffe ihr schlagt jetzt nicht die Hände über dem Kopf zusammen weil ich es nicht verstehe ;)
Christina
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Hallo Christina,
es gibt keinen Grund, die Hände über dem Kopf zusammenzuschlagen.
Die Aufgabe ist offenbar eine, mit der Euer Lehrer herausbekommen möchte, ob Ihr tatsächlich all das schon könnt, was er glaubt. Je nachdem, wie das Ergebnis ausfällt, wird er seinen Unterricht aufbauen. Darum ist es gut, wenn Du (und alle anderen) noch einmal im Gedächtnis grabt, was Ihr so alles schon hattet. Und wenn die Aufgabe damit, auch mit Hilfe, so wie hier, nicht zu lösen ist, dann solltest Du bzw. solltet Ihr das auch sagen. Das ist völlig ok.
> Puh, jetzt raucht mein Kopf aber ganz schön.
>
> Also lässt sich diese Aufgabe nicht ohne Polynomdivision
> lösen?
Ich wüsste nicht, wie das mit schulischen Mitteln gehen sollte, es sei denn, sie wären deutlich fortgeschrittener (z.B. durch numerische Ermittlung von Nullstellen mit dem Newton-Verfahren; das muss Dir nichts sagen, keine Angst!).
> Ich habe leider nicht wirklich verstanden, wie sich das
> ganze dann am besten umsetzen lässt. Kannst du es
> vielleicht an meinem Beispiel zeigen?
Ja, ich hoffe. Schaun wir mal.
> Ich habe gerade gegoogelt und mich über die
> Polynomdivision erkundigt (wie gesagt, das hatte ich bisher
> noch nicht im Unterricht), aber mir fehlt irgendwie der
> Weitblick um zu erkennen wie ich dadurch letztendlich zu
> den zwei Zahlen kommen soll, die in der Aufgabenstellung
> gefragt werden.
Klar. Wenn man etwas nicht "blind" bzw. "aus dem Eff-eff" kann, dann hat man auch Gefühl dafür, was damit zu erreichen wäre.
> Ich kann auch immer noch nicht wirklich nachvollziehen, wie
> Marius darauf gekommen ist:
> [mm]\frac{1}{3}\left(b-6\right)\left(-b^2-12b-75\right)[/mm]
Ich denke, er ist so vorgegangen, wie MathePower vorschlägt. Erst einmal die ganze Gleichung mit -3 multiplizieren, und dann die (positiven und negativen) Teiler von 150, dem Absolutglied, ausprobieren. Das sind leider ziemlich viele: 1,2,3,5,6,10,15,25,30,75,150, und alle davon auch noch positiv oder negativ, also [mm] \pm1, \pm2 [/mm] usw.
Glücklicherweise wird man "schon" bei +6 fündig. Das ist eine Nullstelle. Dann ist das vorliegende Polynom aber zwingend durch (b-6) teilbar. Das hat Marius dann getan, also das Polynom durch (b-6) geteilt, und heraus kam das, was oben steht.
"Übrig" bleibt also die andere Klammer, die man auch als [mm] -(b^2+12b+75) [/mm] schreiben kann. Und das kann man mit der p/q-Formel oder der Mitternachtsformel leicht lösen (oder zeigen, dass es keine weitere reelle Lösung gibt).
> Ich hoffe ihr schlagt jetzt nicht die Hände über dem Kopf
> zusammen weil ich es nicht verstehe ;)
Nein, wieso auch? Siehe oben...
Du willst etwas lernen, das Du noch nicht oder nicht mehr kannst, und Du investierst eigene Arbeit und eigenes Denken. Genau dafür ist dieses Forum da.
Nebenbei: die Aufgabe ist nicht ganz so einfach nur im Kopf zu lösen. Ich denke wirklich, Euer Lehrer möchte im Wesentlichen nur herausfinden, was Ihr so könnte. Mach ihm also nichts vor, was Du nicht kannst, sonst wird Dich der Unterricht allein wegen der daraus folgenden Fehleinschätzung überfordern, und niemand wird damit glücklich - weder Du noch er.
Grüße
reverend
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